Matura (maj 2018, poziom rozszerzony, (stara formuła))

Rozwiąż równanie .

Liczby , spełniające warunek , są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg jest geometryczny. Wyznacz liczby oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.

Dany jest czworokąt wypukły , w którym , i . Oblicz pole czworokąta .

Z liczb ośmioelementowego zbioru tworzymy ośmiowyrazowy ciąg, którego wyrazy się nie powtarzają. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Trójkąt jest ostrokątny oraz . Dwusieczna kąta przecina bok w punkcie . Punkt jest obrazem punktu w symetrii osiowej względem dwusiecznej kąta , punkt jest obrazem punktu w symetrii osiowej względem dwusiecznej kąta , a punkt jest obrazem punktu w symetrii osiowej względem dwusiecznej kąta (zobacz rysunek).

Udowodnij, że na czworokącie można opisać okrąg.

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej i dla każdej liczby całkowitej liczba jest podzielna przez .

Rozwiąż równanie w przedziale .

Liczba jest pierwiastkiem wielomianu . Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu i rozwiąż nierówność .

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

ma dwa rozwiązania rzeczywiste i , spełniające warunek .

Punkt jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego , w którym . Obie współrzędne wierzchołka są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ma równanie . Oblicz współrzędne wierzchołków i tego trójkąta.

Przekrój ostrosłupa prawidłowego trójkątnego płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek i wysokości dwóch ścian bocznych jest trójkątem równobocznym. Krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość . Oblicz objętość tego ostrosłupa.