Matura (czerwiec 2014, dodatkowy)

$logo$

Matura

Dodatkowa

czerwiec 2014

Zadanie 1

(1 pkt.)

Która z poniższych równości jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej ?

Szkoła średnia

Zadanie 2

(1 pkt.)

Czterech przyjaciół zarejestrowało spółkę. Wysokość udziałów poszczególnych wspólników w kapitale zakładowym spółki wyraża stosunek . Jaką część kapitału zakładowego stanowi udział największego inwestora?

Szkoła średnia

Zadanie 3

(1 pkt.)

Dla każdej liczby rzeczywistej i każdej liczby rzeczywistej wyrażenie jest równe

Szkoła średnia

Zadanie 4

(1 pkt.)

Na prostej o równaniu leżą punkty i . Wynika stąd, że

Szkoła średnia

Zadanie 5

(1 pkt.)

Dane są liczby: , , . Który z poniższych warunków jest prawdziwy?

Szkoła średnia

Zadanie 6

(1 pkt.)

Funkcja jest określona wzorem dla każdej liczby z przedziału . Zbiorem wartości tej funkcji jest przedział

Szkoła średnia

Zadanie 7

(1 pkt.)

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej jest liczba . Wówczas jest równe

Szkoła średnia

Zadanie 8

(1 pkt.)

Liczba jest równa

Szkoła średnia

Zadanie 9

(1 pkt.)

Dane są wielomiany: , i . Stopień wielomianu jest równy

Szkoła średnia

Zadanie 10

(1 pkt.)

Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli o równaniu jest równa

Szkoła średnia

Zadanie 11

(1 pkt.)

W ciągu geometrycznym , określonym dla , wyraz , natomiast iloraz . Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Szkoła średnia

Zadanie 12

(1 pkt.)

W ciągu arytmetycznym , określonym dla , dane są dwa wyrazy: i . Suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Szkoła średnia

Zadanie 13

(1 pkt.)

Miara kąta spełnia warunek: . Wyrażenie jest równe

Szkoła średnia

Zadanie 14

(1 pkt.)

W trapezie , w którym , kąt jest prosty (zobacz rysunek) oraz dane są: , , . Pole tego trapezu jest równe

Szkoła średnia

Zadanie 15

(1 pkt.)

Średnia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych na egzaminie przez studentów grupy, liczącej studentów, jest równa . Dwudziestu studentów tworzących grupę otrzymało w sumie punktów. Zatem średni wynik z tego egzaminu, liczony łącznie dla wszystkich studentów z obu grup, jest równy

Szkoła średnia

Zadanie 16

(1 pkt.)

W sześcianie poprowadzono z wierzchołka dwie przekątne sąsiednich ścian, oraz (zobacz rysunek). Miara kąta jest równa

Szkoła średnia

Zadanie 17

(1 pkt.)

Punkt jest środkiem okręgu (zobacz rysunek). Miara kąta jest równa

Szkoła średnia

Zadanie 18

(1 pkt.)

Na trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości i , opisano okrąg. Promień tego okręgu jest równy

Szkoła średnia

Zadanie 19

(1 pkt.)

Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest kwadratem liczby całkowitej, jest równe

Szkoła średnia

Zadanie 20

(1 pkt.)

W trójkącie bok ma długość . Prosta równoległa do boku przecina boki i trójkąta odpowiednio w punktach oraz (zobacz rysunek) w taki sposób, że i . Wtedy długość odcinka jest równa

Szkoła średnia

Zadanie 21

(1 pkt.)

Na planie miasta, narysowanym w skali , park jest prostokątem o bokach i . Stąd wynika, że ten park ma powierzchnię

Szkoła średnia

Zadanie 22

(1 pkt.)

Proste o równaniach: oraz są równoległe, gdy

Szkoła średnia

Zadanie 23

(1 pkt.)

Punkty i są punktami styczności okręgu z osiami układu współrzędnych. Które z poniższych równań opisuje ten okrąg?

Szkoła średnia

Zadanie 24

(1 pkt.)

Objętość walca o promieniu podstawy jest równa . Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe

Szkoła średnia

Zadanie 25

(1 pkt.)

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa , a krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość . Wysokość tego ostrosłupa jest równa

Szkoła średnia

Zadanie 26

(2 pkt.)

Rozwiąż nierówność .

Szkoła średnia

Zadanie 27

(2 pkt.)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej i każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność

Szkoła średnia

Zadanie 28

(2 pkt.)

Kąt jest ostry oraz . Oblicz wartość wyrażenia .

Szkoła średnia

Zadanie 29

(2 pkt.)

Liczby w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz różnicę tego ciągu.

Szkoła średnia

Zadanie 30

(2 pkt.)

Dane są dwa podzbiory zbioru liczb całkowitych:

Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest dodatni.

Szkoła średnia

Zadanie 31

(2 pkt.)

Dany jest trójkąt . Odcinek jest wysokością tego trójkąta, punkt jest środkiem boku (tak jak na rysunku) i . Udowodnij, że trójkąt jest równoboczny.

Szkoła średnia

Zadanie 32

(4 pkt.)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym (zobacz rysunek) przekątna podstawy ma długość . Kąt między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa ma miarę . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Szkoła średnia

Zadanie 33

(5 pkt.)

Trasę etapu wyścigu kolarskiego o długości pan Nowak pokonał w czasie o godzinę i minut krótszym niż jego kolega z drużyny, pan Kowalski. Średnia wartość prędkości, z jaką pan Nowak jechał na tym etapie, była o większa od średniej wartości prędkości pana Kowalskiego na tej trasie. Oblicz średnie wartości prędkości, z jakimi przejechali całą trasę obaj zawodnicy.

Szkoła średnia

Zadanie 34

(4 pkt.)

Podstawą trójkąta równoramiennego jest bok , gdzie i . Ramię tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu . Oblicz współrzędne wierzchołka .

Szkoła średnia

Arkusz

Odpowiedzi

Rozwiąż online