Dla dowolnych liczb wartość wyrażenia jest równa

Liczba jest równa

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji , który jest złożony z dwóch półprostych i oraz dwóch odcinków i , gdzie , , , , .

Wzór funkcji to

Zdarzenia losowe i zawarte w są takie, że prawdopodobieństwo zdarzenia , przeciwnego do zdarzenia , jest równe . Ponadto prawdopodobieństwo warunkowe . Wynika stąd, że

Oblicz granicę

Rozważamy wszystkie liczby naturalne pięciocyfrowe zapisane przy użyciu cyfr , bez powtarzania jakiejkolwiek cyfry. Oblicz sumę wszystkich takich liczb.

Punkt leży na paraboli o równaniu . Prosta o równaniu kierunkowym jest styczna do tej paraboli w punkcie . Oblicz współczynnik .

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych i , takich że , i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej , prawdziwa jest nierówność .

Dany jest trójkąt równoramienny , w którym . Na ramieniu tego trójkąta wybrano punkt , a na ramieniu wybrano punkt , w taki sposób, że . Przez punkty i poprowadzono proste prostopadłe do podstawy tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty i . Udowodnij, że .

Punkt leży na boku trójkąta oraz , , i . Oblicz obwód trójkąta .

Dane są okręgi o równaniach i . Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.

Trzywyrazowy ciąg o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg jest geometryczny. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.

Wielomian określony wzorem jest podzielny przez dwumian oraz przy dzieleniu przez dwumian daje resztę . Oblicz i dla wyznaczonej wartości rozwiąż nierówność .

Rozwiąż równanie

Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości . Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.