Geometria analityczna to dział matematyki, który łączy geometrię z algebrą, wykorzystując narzędzia analizy matematycznej i układ współrzędnych do badania figur geometrycznych. W geometrii analitycznej figury geometryczne (takie jak punkty, proste, okręgi, krzywe) są opisane za pomocą równań algebraicznych, co pozwala na precyzyjne analizowanie ich własności i relacji między nimi. Geometria analityczna ma zastosowania w fizyce, inżynierii, grafice komputerowej i wielu innych dziedzinach.

Kluczowe zagadnienia geometrii analitycznej:

Układ współrzędnych:
- Układ kartezjański – podstawowe narzędzie geometrii analitycznej, w którym każdy punkt na płaszczyźnie lub w przestrzeni jest opisany za pomocą współrzędnych (x,y) w 2D lub (x,y,z) w 3D.
- Wektory – obiekty geometryczne mające kierunek, zwrot i długość. Są używane do opisu przesunięć, sił i innych wielkości fizycznych.
Punkty, proste i odcinki:
- Punkt – opisany przez współrzędne (x,y) w 2D lub (x,y,z) w 3D.
- Prosta – opisana równaniem liniowym, np. y=ax+b w 2D lub parametrycznie w 3D.
- Odcinek – część prostej między dwoma punktami.
Równania figur geometrycznych:
- Okrąg – równanie w 2D: (x-a)^2+(y-b)^2=r^2, gdzie (a,b) to środek, a r to promień.
- Elipsa – równanie w 2D: \displaystyle \frac{(x-a)^2}{A^2} + \frac{(y-b)^2}{B^2}=1 .
- Parabola - równanie w 2D: ax^2+bx+c=1.
- Hiperbola - równanie w 2D: \displaystyle \frac{(x-a)^2}{A^2} - \frac{(y-b)^2}{B^2}=1 .
Odległości i kąty:
- Odległość między punktami – w 2D: \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}, a w 3D: \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}
- Odległość punktu od prostej – wzór zależny od postaci równania prostej.
- Kąt między prostymi – obliczany za pomocą współczynników kierunkowych.
Przecięcia i równoległość:
- Przecięcie prostych – rozwiązanie układu równań liniowych.
- Równoległość i prostopadłość – proste są równoległe, jeśli mają ten sam współczynnik kierunkowy, a prostopadłe, jeśli iloczyn ich współczynników wynosi -1.
Geometria analityczna w przestrzeni (3D):
- Płaszczyzna – opisana równaniem Ax+By+Cz+D=0.
- Kula – równanie (x−a)^2+(y−b)^2+(z−c)^2=r^2.
- Prosta w 3D – opisana parametrycznie lub jako przecięcie dwóch płaszczyzn.

Zadanie

Rozwiązanie

O zadaniu