Rachunek prawdopodobieństwa to dział matematyki, który zajmuje się badaniem zjawisk losowych, czyli takich, których wyniku nie można przewidzieć z całą pewnością, ale można oszacować ich prawdopodobieństwo. Rachunek prawdopodobieństwa dostarcza narzędzi do modelowania i analizy niepewności, co ma ogromne znaczenie w statystyce, finansach, fizyce, biologii, informatyce i wielu innych dziedzinach.

Kluczowe zagadnienia rachunku prawdopodobieństwa:

Podstawowe pojęcia:
- Zdarzenie elementarne – pojedynczy możliwy wynik doświadczenia losowego.
- Zdarzenie – zbiór zdarzeń elementarnych.
- Przestrzeń probabilistyczna – trójka \left(\Omega,\mathcal{F},P\right), gdzie:
  - \Omega to zbiór wszystkich możliwych wyników (przestrzeń zdarzeń elementarnych),
  - \mathcal{F} to zbiór zdarzeń (zazwyczaj sigma-ciało),
  - P to miara prawdopodobieństwa, która przypisuje zdarzeniom liczby z przedziału [0,1].
Prawdopodobieństwo:
- Prawdopodobieństwo klasyczne – jeśli wszystkie zdarzenia elementarne są równoprawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi:
  (0)P(A)= \frac{\text{liczba zdarzeń sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich zdarzeń}}
Prawdopodobieństwo geometryczne – stosuje się, gdy zbiór zdarzeń elementarnych jest nieskończony i można go opisać geometrycznie (np. długość, pole, objętość).
Zdarzenia niezależne i zależne:
- Zdarzenia niezależne – zdarzenia A i B są niezależne, jeśli P(A\cap B)=P(A) \cdot P(B).
- Zdarzenia zależne – prawdopodobieństwo jednego zdarzenia zależy od wystąpienia drugiego.
Prawdopodobieństwo warunkowe:
- Prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B, oblicza się ze wzoru:
  (0)P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}
Twierdzenie Bayesa:
- Pozwala na aktualizację prawdopodobieństwa zdarzenia w oparciu o nowe informacje:
  (0)P(A|B)= \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}
Zmienne losowe:
- Zmienna losowa – funkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste.
- Rozkład prawdopodobieństwa – opisuje, jak prawdopodobieństwo jest rozłożone na wartości zmiennej losowej.
- Wartość oczekiwana – średnia wartość zmiennej losowej:
  (0)E(X)=\sum_{i}x_i \cdot P(X=x_i)
Wariancja - miara rozproszenia zmiennej losowej:
(0)\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
Rozkłady prawdopodobieństwa:
- Rozkład dyskretny – zmienna losowa przyjmuje skończoną lub przeliczalną liczbę wartości, np.:
  - Rozkład Bernoulliego,
  - Rozkład dwumianowy,
  - Rozkład Poissona.
- Rozkład ciągły – zmienna losowa przyjmuje wartości z pewnego przedziału, np.:
  - Rozkład normalny (Gaussa),
  - Rozkład jednostajny,
  - Rozkład wykładniczy.
Twierdzenia graniczne:
- Prawo wielkich liczb – średnia z dużej liczby prób dąży do wartości oczekiwanej.
- Centralne twierdzenie graniczne – suma dużej liczby niezależnych zmiennych losowych ma rozkład zbliżony do normalnego.

Zadanie

Rozwiązanie

O zadaniu