Dziedzina i zbiór wartości funkcji

Wiemy już czym jest dziedzina funkcji oraz zbiór wartości funkcji. Teraz zastanówmy się jak je wyznaczyć gdy funkcja dana jest za pomocą wzoru lub wykresu.

Gdy funkcja jest zdefiniowana wzorem, a jej dziedzina nie została podana, to przyjmujemy tzw. dziedzinę naturalną, czyli zbiór tych liczb dla których wzór funkcji ma sens liczbowy. W tym celu należy przyjrzeć się składnikom występującym we wzorze funkcji i zastanowić się czy z ich definicji nie wynikają pewne ograniczenia związane z wartościami jakie może przyjąć argument funkcji oraz czy dla niektórych wartości nie otrzymujemy działań niedozwolonych. Między innymi należy pamiętać, że:

• Nie wolno dzielić przez $0$0!
  Jeżeli w wyrażeniu występują ułamki, upewnij się że mianownik jest różny od zera, tj. wyklucz z dziedziny te argumenty dla których mianownik się zeruje.

• Nie istnieją pierwiastki o parzystych stopniach z rzeczywistych liczb ujemnych!
  Jeżeli w wyrażeniu występują pierwiastki o stopniach parzystych, ogranicz dziedzinę do tych argumentów dla których wyrażenie pod pierwiastkiem jest nieujemne.

• Nie istnieje logarytm z liczb mniejszych od $0$0!
  Jeżeli w wyrażeniu występują logarytmy, ogranicz dziedzinę do tych argumentów dla których logarytmowana liczba jest dodatnia.
  
  

Gdy funkcja jest określona za pomocą wykresu, to jej dziedzinę określamy analizując zakres wartości argumentów $x$x, dla których funkcja jest zdefiniowana. W praktyce:

• Sprawdzamy oś $OX$OX– Szukamy najmniejszej i największej wartości $x$x, dla których istnieje punkt wykresu.

• Analizujemy przerwy – Jeśli wykres ma luki, asymptoty pionowe lub skoki, to te wartości $x$x wykluczamy z dziedziny.

• Uwzględniamy końce wykresu – Jeśli wykres rozciąga się nieskończenie, dziedzina obejmuje całą prostą rzeczywistą lub jej część.

W efekcie dziedzinę zapisujemy jako przedział liczbowy lub zbiór liczbowy obejmujący dopuszczalne wartości.

Gdy funkcja jest zdefiniowana wzorem, to jej zbiorem wartości jest zbiór liczb otrzymany w wyniku policzenia wartości funkcji w każdym punkcie jej dziedziny.

Gdy funkcja jest określona za pomocą wykresu, to jej zbiór wartości wyznaczamy analizując zakres wartości $y$y, które funkcja przyjmuje. W praktyce:

• Sprawdzamy oś $OY$OY– Szukamy najmniejszej i największej wartości $y$y, dla których istnieją punkty wykresu.

• Analizujemy ciągłość – Jeśli wykres ma przerwy, skoki lub asymptoty poziome, wykluczamy odpowiednie wartości $y$y.

• Uwzględniamy krańce – Jeśli wykres rośnie lub maleje bez ograniczeń, zbiór wartości może obejmować całą prostą rzeczywistą lub jej część.

W efekcie zbiór wartości funkcji zapisujemy jako przedział liczbowy lub zbiór liczbowy obejmujący wszystkie możliwe wartości $y$y.