Ciąg arytmetyczny

Definicja 1

Ciąg arytmetyczny

Ciąg liczbowy $(a_n)$ (a_n) nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeżeli każdy następny wyraz tego ciągu różni się od poprzedniego o stałą wartość $r\in\mathbb{R}$ r\in\mathbb{R}, czyli gdy dla dowolnego $n\in\mathbb{N_+}$ n\in\mathbb{N_+} zachodzi:

a_{n+1}=a_n+r

(0)

Liczbę $r$ r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.

Twierdzenie 1

O charakteryzacji ciągu arytmetycznego

Ciąg liczbowy $\left(a_n\right)$ \left(a_n\right) jest ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy dla $n>1$ n>1, $n-$ n-ty wyraz tego ciągu jest średnią arytmetyczną dwóch sąsiednich wyrazów:

a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}

(0)

Twierdzenie 2

Wzór na sumę ciągu arytmetycznego

Suma $n$ n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $\left(a_n\right)$ \left(a_n\right) jest równa średniej arytmetycznej pierwszego oraz ostatniego wyrazu, pomnożonej przez liczbę wyrazów:

S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n

(0)

lub równoważnie:

S_n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n

(0)

Jeżeli $k<n$ k<n, to suma ciągu arytmetycznego od wyrazu $k$ k do $n$ n dana jest wzorem:

S_n^k=\frac{a_k+a_n}{2}\cdot(n-k+1)

(0)

Dodatkowo,

a_n=S_n-S_{n-1}

(0)

Twierdzenie 3

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie $a_1$ a_1 oraz różnicy $r$ r przyjmuje postać:

a_n=a_1+(n-1)r

(0)

Ogólniej, dla dowolnego $k\in \mathbb{N_+}$ k\in \mathbb{N_+}:

a_n=a_k+(n-k)r

(0)

Twierdzenie 4

O monotoniczności ciągu arytmetycznego

Ciąg arytmetyczny $\left(a_n\right)$ \left(a_n\right) o różnicy $r$ r jest:

malejący, jeżeli $r<0$ r<0.
stały, jeżeli $r=0$ r=0.
rosnący, jeżeli $r>0$ r>0.