Rozszerzanie i skracanie ułamków

Rozszerzanie i skracanie ułamków to dwie podstawowe operacje na ułamkach, które pozwalają zmieniać ich postać, nie zmieniając ich wartości.

Rozszerzanie ułamków

Rozszerzanie ułamka polega na pomnożeniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od zera. Wartość ułamka się nie zmienia, ale jego postać jest inna.

Definicja 1

Niech $\displaystyle \frac{a}{b}$ \displaystyle \frac{a}{b} będzie ułamkiem, gdzie $a,b\in\mathbb{N}$ a,b\in\mathbb{N} i $b\neq0$ b\neq0. Rozszerzaniem tego ułamka nazywamy działanie polegające na pomnożeniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę $k\neq0$ k\neq0:

\frac{a}{b}= \frac{a \cdot k}{b \cdot k}

(0)

Przykład 1

Przykład

Mnożąc licznik oraz mianownik ułamka $\displaystyle \frac{2}{3}$ \displaystyle \frac{2}{3} przez $7$ 7 otrzymamy rozszerzenie tego ułamka przyjmujące postać:

\frac{2}{3}= \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7}= \frac{14}{21}

(0)

Analogicznie, mnożąc przez $2,10$ 2,10 i $50$ 50 otrzymamy następujące rozszerzenia:

\begin{aligned} \frac{2}{3}&= \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}= \frac{4}{6}\\ \frac{2}{3}&= \frac{2 \cdot 10}{3 \cdot 10}= \frac{20}{30}\\ \frac{2}{3}&= \frac{2 \cdot 50}{3 \cdot 50}= \frac{100}{150} \end{aligned}

(0)

Skracanie ułamków

Skracanie ułamka to operacja odwrotna do rozszerzania ułamków i polega na podzieleniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od zera (wspólny dzielnik). Wartość ułamka się nie zmienia, ale jego postać jest inna.

Definicja 2

Skracanie ułamków

Niech $\displaystyle \frac{a}{b}$ \displaystyle \frac{a}{b} będzie ułamkiem, gdzie $a,b\in\mathbb{N}$ a,b\in\mathbb{N} i $b\neq0$ b\neq0. Skracaniem tego ułamka nazywamy działanie polegające na podzieleniu licznika i mianownika przez ich wspólny dzielnik $k\neq0$ k\neq0 (jeśli istnieje):

\frac{a}{b}= \frac{a :k}{b :k}

(0)

Uwaga 1

Skracanie ułamków

Kady ułamek można rozszerzyć, natomiast nie każdy ułamek można skrócić! Jest to niemożliwe gdy licznik i mianownik są względnie pierwsze i nie mają wspólnego dzielnika - takie ułamki nazywamy nieskracalnymi.

Definicja 3

Ułamek nieskracalny

Ułamek $\displaystyle \frac{a}{b}$ \displaystyle \frac{a}{b} , gdzie $a,b\in\mathbb{Z}$ a,b\in\mathbb{Z} oraz $b\neq 0$ b\neq 0, nazywamy nieskracalnym, jeżeli największy wspólny dzielnik licznika i mianownika wynosi $1$ 1 (licznik i mianownik są względnie pierwsze), czyli

\text{NWD}(a,b)=1

(0)

Przykład 2

Przykład

ułamek $\displaystyle \frac{4}{12}$ \displaystyle \frac{4}{12} możemy skrócić przez $4$ 4 ponieważ $4|4$ 4|4 oraz $4|12$ 4|12:
$\frac{4}{12}= \frac{4:4}{12:4}= \frac{1}{3}$
\frac{4}{12}= \frac{4:4}{12:4}= \frac{1}{3} (0)
ułamek $\displaystyle \frac{20}{100}$ \displaystyle \frac{20}{100} możemy skrócić przez każdą z liczb: $2,4,5,10,20$ 2,4,5,10,20 ponieważ każda z tych liczb jest wspólnym dzielnikiem $20$ 20 i $100$ 100.
$\begin{aligned} \frac{20}{100}&= \frac{20:2}{100:2}= \frac{10}{50} \\ \frac{20}{100}&= \frac{20:4}{100:4}= \frac{5}{25} \\ \frac{20}{100}&= \frac{20:5}{100:5}= \frac{4}{20} \\ \frac{20}{100}&= \frac{20:10}{100:10}= \frac{2}{10} \\ \frac{20}{100}&= \frac{20:20}{100:20}= \frac{1}{5} \\ \end{aligned}$
\begin{aligned} \frac{20}{100}&= \frac{20:2}{100:2}= \frac{10}{50} \\ \frac{20}{100}&= \frac{20:4}{100:4}= \frac{5}{25} \\ \frac{20}{100}&= \frac{20:5}{100:5}= \frac{4}{20} \\ \frac{20}{100}&= \frac{20:10}{100:10}= \frac{2}{10} \\ \frac{20}{100}&= \frac{20:20}{100:20}= \frac{1}{5} \\ \end{aligned}(0)
lub możemy skracać krok po kroku aż otrzymamy wyrażenie nieskracalne:
$\begin{aligned} \frac{20}{100}&= \frac{20:2}{100:2}= \frac{10}{50}\\ &= \frac{10:2}{50:2}= \frac{5}{25}\\ &= \frac{5:5}{25:5}= \frac{1}{5}\\ \end{aligned}$
\begin{aligned} \frac{20}{100}&= \frac{20:2}{100:2}= \frac{10}{50}\\ &= \frac{10:2}{50:2}= \frac{5}{25}\\ &= \frac{5:5}{25:5}= \frac{1}{5}\\ \end{aligned}(0)

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Dwa ułamki $\displaystyle \frac{a}{b}$ \displaystyle \frac{a}{b} i $\displaystyle \frac{c}{d}$ \displaystyle \frac{c}{d} o różnych mianownikach $b\neq d$ b\neq d możemy rozszerzyć w taki sposób, aby miały wspólny mianownik, czyli taki w którym początkowe mianowniki $b$ b i $d$ d mieszczą się całkowitą ilość razy. Najprościej znajdziemy go mnożąc przez siebie mianowniki $b$ b i $d$ d, jednak czasami warto użyć $\text{NWW}(a,b)$ \text{NWW}(a,b). W tym celu należy:

Znaleźć wspólny mianownik - najlepiej użyć jako mianownika najmniejszej wspólnej wielokrotności $\text{NWW(b,d)}$ \text{NWW(b,d)} obu mianowników. Ewentualnie, możemy użyć ich iloczynu $b \cdot d$ b \cdot d.
Rozszerzyć ułamki - każdy ułamek rozszerz tak, aby miał ten sam mianownik z pierwszego kroku
$\begin{aligned} \frac{a}{b}= \frac{a \cdot d}{b \cdot d}\wedge \frac{c}{d}= \frac{c \cdot b}{b \cdot d} \end{aligned}$
\begin{aligned} \frac{a}{b}= \frac{a \cdot d}{b \cdot d}\wedge \frac{c}{d}= \frac{c \cdot b}{b \cdot d} \end{aligned}(0)
lub
$\begin{aligned} \frac{a}{b}= \frac{a \cdot \frac{\text{NWW}(b,d)}{b} }{\text{NWW}(b,d)}\wedge \frac{c}{d}= \frac{c \cdot \frac{\text{NWW}(b,d)}{d} }{\text{NWW}(b,d)} \end{aligned}$
\begin{aligned} \frac{a}{b}= \frac{a \cdot \frac{\text{NWW}(b,d)}{b} }{\text{NWW}(b,d)}\wedge \frac{c}{d}= \frac{c \cdot \frac{\text{NWW}(b,d)}{d} }{\text{NWW}(b,d)} \end{aligned}(0)