Własności pierwiastkowania

Twierdzenie 1

Własności pierwiastkowania

Dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych $x,y\in\mathbb{R_+}$ x,y\in\mathbb{R_+} oraz dodatnich liczb całkowitych $n,m\in\mathbb{N_+}$ n,m\in\mathbb{N_+} zachodzi:

\begin{align*} \sqrt[n]{x}\cdot \sqrt[n]{y} &= \sqrt[n]{xy}\\ \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}&=\sqrt[n]{\frac{x}{y}}\\ \sqrt[n]{x^m}&=\left(\sqrt[n]{x}\right)^m\\ \sqrt[m]{\sqrt[n]{x}}&=\sqrt[m\cdot n]{x}\\ x<y & \Rightarrow \sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{y} \end{align*}

(0)

Dodatkowo, jeśli oba stopnie pierwiastków $n$ n i $m$ m są nieparzyste, to powyższe własności zachodzą dla dowolnych liczb rzeczywistych $x,y\in\mathbb{R}$ x,y\in\mathbb{R}.

Dodatkowo:

\left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x

(0)

Pierwiastki możemy do siebie dodawać lub odejmować tylko wtedy, gdy są one tego samego stopnia oraz mają tę samą liczbę podpierwiastkową. Mówimy, że są to pierwiastki podobne. Dodatkowo, należy pamiętać że oba te działania wykonujemy na liczbach stojących przed pierwiastkiem, natomiast sam pierwiastek przepisujemy bez zmian.

Przykład 1

Działania na pierwiastkach

Przykłady wykorzystania własności pierwiastkowania:

$2\sqrt[4]{7}+5\sqrt[4]{7}=7\sqrt[4]{7}$ 2\sqrt[4]{7}+5\sqrt[4]{7}=7\sqrt[4]{7}.
$4\sqrt[7]{2}-4.5\sqrt[7]{2}=-0.5\sqrt[7]{2}$ 4\sqrt[7]{2}-4.5\sqrt[7]{2}=-0.5\sqrt[7]{2}.

$\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{2\cdot4}=\sqrt[3]{8}=2$ \sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{2\cdot4}=\sqrt[3]{8}=2.
$\displaystyle\frac{\sqrt[5]{972}}{\sqrt[5]{4}}=\sqrt[5]{\frac{972}{4}}=\sqrt[5]{243}=3$ \displaystyle\frac{\sqrt[5]{972}}{\sqrt[5]{4}}=\sqrt[5]{\frac{972}{4}}=\sqrt[5]{243}=3.

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Zanim zaczniemy upraszczać wyrażenia algebraiczne zawierające pierwiastki, powinniśmy wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka. Możemy to zrobić na dwa sposoby:

Zapisanie liczby podpierwiastkowej jako iloraz dwóch liczb w taki sposób, aby z przynajmniej jednej można było obliczyć pierwiastek będący liczbą wymierną:
$\sqrt[n]{a^n\cdot b}=a\cdot\sqrt[n]{b}$
\sqrt[n]{a^n\cdot b}=a\cdot\sqrt[n]{b}(0)
Rozłożenie liczby podpierwiastkowej na czynniki pierwsze i sprawdzenie czy jakiś czynnik występuje $n-$ n-krotnie:
$\sqrt[n]{p_1\cdot \underbrace{p_2\cdot p_2\cdot \ldots\cdot p_2}_{n \text{ czynników}}\cdot p_3}=p_2\sqrt[n]{p_1\cdot p_3}$
\sqrt[n]{p_1\cdot \underbrace{p_2\cdot p_2\cdot \ldots\cdot p_2}_{n \text{ czynników}}\cdot p_3}=p_2\sqrt[n]{p_1\cdot p_3}(0)

W drugą stronę, możemy włączyć czynnik pod znak pierwiastka.

Przykład 2

Przykład

$\sqrt{32}=\sqrt{16 \cdot 2}=4\sqrt{2}$ \sqrt{32}=\sqrt{16 \cdot 2}=4\sqrt{2}
$\displaystyle \sqrt{ \frac{12}{9} }=\sqrt{3 \cdot \frac{4}{9} }= \frac{2}{3} \sqrt{3}$ \displaystyle \sqrt{ \frac{12}{9} }=\sqrt{3 \cdot \frac{4}{9} }= \frac{2}{3} \sqrt{3}
$5\sqrt{6}=\sqrt{5^2 \cdot 6}=\sqrt{150}$ 5\sqrt{6}=\sqrt{5^2 \cdot 6}=\sqrt{150}

Usuwanie niewymierności z mianownika

W matematyce wyrażenia, w których mianownik zawiera liczby niewymierne, takie jak pierwiastki, mogą być trudniejsze do interpretacji i obliczeń. Dlatego często przekształca się je w równoważne wyrażenia, w których mianownik jest liczbą wymierną. Proces ten nazywa się usuwaniem niewymierności z mianownika i polega na pomnożeniu licznika i mianownika danego ułamka przez tę samą niezerową liczbę.

Przykład 3

Przykład

$\displaystyle \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}= \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}= \frac{\sqrt{3}}{3}$ \displaystyle \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}= \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}= \frac{\sqrt{3}}{3}
$\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{7}}= \frac{2 \cdot \sqrt{7}}{3 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{7}}= \frac{2\sqrt{7}}{21}$ \displaystyle \frac{2}{3\sqrt{7}}= \frac{2 \cdot \sqrt{7}}{3 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{7}}= \frac{2\sqrt{7}}{21}