logo

Nierówność liniowa

Definicja 1

Nierównością liniową z jedną niewiadomą xx nazywamy nierówność przyjmującą jedną z następujących postaci:

ax+b>0ax+b<0ax+b≥0ax+b≤0\begin{aligned} ax+b&>0\\ ax+b&< 0\\ ax+b&\ge 0\\ ax+b&\le 0\\ \end{aligned}
(0)

gdzie a,b∈Ra,b\in\mathbb{R}, a xx to niewiadoma występująca w pierwszej potędze. Jeżeli a≠0a\neq 0 to nierówność nazywamy nierównością pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.
Jeśli w nierówności występuje znak << lub >>, to mówimy o nierówności ostrej, natomiast jeśli w nierówności występuje znak ≤\le lub ≥\ge, to mówimy o nierówności nieostrej.

Uwaga 1

Jeśli obie strony nierówności pomnożymy bądź podzielimy przez dowolną liczbę dodatnią (dd), to otrzymamy nierówność równoważną.

ax+b<c  ⟺  d(ax+b)<dcax+b<c  ⟺  ax+bd<cd\begin{align*} ax+b<c&\iff d(ax+b)<dc\\ ax+b<c&\iff \frac{ax+b}{d}<\frac{c}{d} \end{align*}
(0)

Jeśli obie strony nierówności pomnożymy bądź podzielimy przez tę samą liczbę ujemną (−d)(-d), to zmieniając zwrot nierówności na przeciwny otrzymamy nierówność równoważną.

ax+b<c  ⟺  −d(ax+b)>−dcax+b<c  ⟺  ax+b−d>c−d\begin{align*} ax+b<c&\iff -d(ax+b)>-dc\\ ax+b<c&\iff \frac{ax+b}{-d}>\frac{c}{-d} \end{align*}
(0)

Zauważ, że mnożenie przez −1-1 to nic innego niż przeniesienie lewej strony nierówności na prawą stronę, a prawej na lewą.

Mówimy, że dana liczba spełnia nierówność, jeżeli po podstawieniu jej w miejsce niewiadomej, otrzymujemy nierówność prawdziwą. Rozwiązanie nierówności polega na znalezieniu wszystkich liczb (przedziału liczb) które spełniają tę nierówność. O ile w przypadku równań liniowych najczęściej istniało dokładni jedno rozwiązanie, tak w przypadku nierówności ich rozwiązaniem jest najczęściej przedział liczbowy.

Przykład 1

Niech dana będzie nierówność:

13x−2<x−42\frac{1}{3}x-\sqrt{2}<\frac{x-4}{\sqrt{2}}
(0)

Mnożąc obustronnie przez 2\sqrt{2} otrzymujemy:

23x−2<x−4\frac{\sqrt{2}}{3}x-2<x-4
(0)

Przenosząc wyrażenia z xx na lewą stronę a pozostałe wyrażenia na prawą mamy:

(23−1)x<−2\left(\frac{\sqrt{2}}{3}-1\right)x<-2
(0)

Dzieląc obustronnie przez (23−1)\displaystyle\left(\frac{\sqrt{2}}{3}-1\right) otrzymujemy:

x>−2(23−1)x>\frac{-2}{\left(\frac{\sqrt{2}}{3}-1\right)}
(0)

gdzie po drodze zmieniliśmy znak nierówności ponieważ (23−1)<0\left(\frac{\sqrt{2}}{3}-1\right)<0.
Możemy jeszcze uprościć wyrażenie po prawej stronie:

−2(23−1)=2(1−23)=2(3−23)=63−2=6(3+2)7=18+627\begin{align*} \frac{-2}{\left(\frac{\sqrt{2}}{3}-1\right)}&=\frac{2}{\left(1-\frac{\sqrt{2}}{3}\right)}\\&=\frac{2}{\left(\frac{3-\sqrt{2}}{3}\right)}\\&=\frac{6}{3-\sqrt{2}}\\&=\frac{6(3+\sqrt{2})}{7}\\&=\frac{18+6\sqrt{2}}{7} \end{align*}
(0)

Zatem rozwiązaniem nierówności jest przedział:

x∈(18+627,∞)x\in\left(\frac{18+6\sqrt{2}}{7},\infty\right)
(0)

Każda prosta dzieli płaszczyznę na dwie części: