Przekształcenia wykresu funkcji

Obrazem wykresu funkcji $y=f(x)$y=f(x) w przesunięciu równoległym o wektor $[0,q]$[0,q] (wzdłuż osi $OY$OY) jest wykres funkcji $y=f(x)+q$y=f(x)+q.

Innymi słowy, wykres funkcji $y=f(x)+q$y=f(x)+q, gdzie $q>0$q>0, powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji $y=f(x)$y=f(x) o $q$q jednostek w górę wzdłuż osi $OY$OY.

Analogicznie, wykres funkcji $y=f(x)-q$y=f(x)-q, gdzie $q>0$q>0, otrzymujemy poprzez przesunięcie wykresu funkcji $y=f(x)$y=f(x) o $q$q jednostek w dół wzdłuż osi $OY$OY.

Obrazem wykresu funkcji $y=f(x)$y=f(x) w przesunięciu równoległym o wektor $[p,0]$[p,0] (wzdłuż osi $OX$OX) jest wykres funkcji $y=f(x-p)$y=f(x-p).

Innymi słowy, wykres funkcji $y=f(x-p)$y=f(x-p), gdzie $p>0$p>0, powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji funkcji $y=f(x)$y=f(x) o $p$p jednostek w prawo wzdłuż osi $OX$OX.

Analogicznie, wykres funkcji $y=f(x+p)$y=f(x+p), gdzie $p>0$p>0, powstaje poprzez przesunięcie wykresu funkcji $y=f(x)$y=f(x) o $p$p jednostek w lewo wzdłuż osi $OX$OX.

Obrazem wykresu funkcji $y=f(x)$y=f(x) w przesunięciu równoległym o wektor $[p,q]$[p,q] jest wykres funkcji $y=f(x-p)+q$y=f(x-p)+q.

Obrazem wykresu funkcji $y=f(x)$y=f(x) w symetrii osiowej względem osi $OX$OX jest wykres funkcji $y=-f(x)$y=-f(x).

Obrazem wykresu funkcji $y=f(x)$y=f(x) w symetrii osiowej względem osi $OY$OY jest wykres funkcji $y=f(-x)$y=f(-x).

Obrazem wykresu funkcji $y=f(x)$y=f(x) w symetrii środkowej względem punktu $O=(0,0)$O=(0,0) jest wykres funkcji $y=-f(-x)$y=-f(-x).

Symetria środkowa względem początku układu współrzędnych to złożenie symetrii względem osi $OX$OX oraz osi $OY$OY.

Jeżeli dziedziną funkcji oraz jej zbiorem wartości nie jest cały zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$\mathbb{R}, to:

• przesunięcie funkcji wzdłuż osi $OX$OX zmienia dziedzinę funkcji,

• przesunięcie funkcji wzdłuż osi $OY$OY zmienia zbiór wartości funkcji.

• odbicie funkcji względem osi $OX$OX zmienia zbiór wartości funkcji,

• odbicie funkcji względem osi $OY$OY zmienia dziedzinę funkcji.

Obrazem wykresu funkcji $y=f(x)$y=f(x) w powinowactwie prostokątnym o osi $OX$OX i skali $k\neq0$k\neq0 jest wykres funkcji $g(x)=k \cdot f(x)$g(x)=k \cdot f(x). Dodatkowo,

• dziedzina funkcji $g(x)=k \cdot f( x)$g(x)=k \cdot f( x) jest taka sama co dziedzina funkcji $y=f(x)$y=f(x).

• zbiór wartości funkcji $g(x)=k \cdot f( x)$g(x)=k \cdot f( x) to zbiór

  $$\text{ZW}_g=\left\{ky,\ y\in \text{ZW}_f \right\}= k\text{ZW}_f$$

  \text{ZW}_g=\left\{ky,\ y\in \text{ZW}_f \right\}= k\text{ZW}_f (0)

Obrazem wykresu funkcji $y=f(x)$y=f(x) w powinowactwie prostokątnym o osi $OX$OX i skali $\displaystyle \frac{1}{k}$\displaystyle \frac{1}{k}, $k\neq0$k\neq0 jest wykres funkcji $y= f(k \cdot x)$y= f(k \cdot x). Dodatkowo,

• dziedziną funkcji $y=f(k \cdot x)$y=f(k \cdot x) jest zbiór

  $$D_g=\left\{x\in\mathbb{R}:kx\in D_f \right\}= \frac{1}{k}D_f$$

  D_g=\left\{x\in\mathbb{R}:kx\in D_f \right\}= \frac{1}{k}D_f (0)

• zbiór wartości funkcji $y=f\left(k \cdot x\right)$y=f\left(k \cdot x\right) jest identyczny co zbiór wartości funkcji $y=f(x)$y=f(x).

W przypadku funkcji złożonych, najczęściej najpierw rysujemy w kilku etapach zaczynając od tej najbardziej wewnętrznej, a kończąc na zewnętrznej. W tym celu używamy poznanych wyżej przekształceń.