MathWizards

Dowolne dwie liczby naturalne możemy przez siebie pomnożyć. Liczby które mnożymy to czynniki, a wynik takiego działania nazywamy iloczynem.

Mnożenie liczb naturalnych to nic innego niż wielokrotne dodawanie do siebie tej samej liczby, gdzie dodawana liczba to jeden z czynników, a liczba składników takiej sumy jest dana przez drugi czynnik (lub na odwrót). Możemy to sobie zobrazować na osi liczbowej:

Uwaga 1

Przemienność mnożenia

Mnożenie jest przemienne, co oznacza że kolejność czynników nie ma wpływu na iloczyn. Możemy więc zapisać:

\left. \begin{align*} 4 \cdot 5 &=20\\ 5 \cdot 4 &=20 \end{align*}\quad \right\} \Rightarrow \boxed{4\cdot 5=5\cdot 4}

(0)

Uwaga 2

“Sprytne” mnożenie

Dzięki przemienności mnożenia, grupując odpowiednie składniki możemy uprościć oraz przyśpieszyć niektóre rachunki. Najczęściej wykorzystujemy tę własność gdy iloczyn niektórych składników daje liczbę będącą wielokrotnością liczby $10$ 10:

2 \cdot 12 \cdot 5 = \textcolor{lightblue}{2} \cdot 12 \cdot \textcolor{lightblue}{5} = \textcolor{lightblue}{10} \cdot 12 = 120

(0)

W mnożeniu pomaga nam również prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania:

3 \cdot 27=3 \cdot (20+7)=3 \cdot 20+3 \cdot 7=81

(0)

Z własności tej możemy również skorzystać wykonując

9 \cdot 19=9 \cdot (20-1)=180-9=171

(0)

Uwaga 3

Mnożenie przez $1$ 1

Mnożenie przez $1$ 1 nie zmienia wyniku. Mówimy, że $1$ 1 jest elementem neutralnym mnożenia.

Uwaga 4

Mnożenie przez $0$ 0

Wynikiem mnożenia przez $0$ 0 jest zawsze $0$ 0. Zauważ, że na mnożenie możemy popatrzeć jak na wielokrotne dodawanie:

4\cdot 3=\underbrace{3 + 3 + 3 + 3}_{4 \text{ elementy}}=12

(0)

Innymi słowy, wyrażenie $5\cdot 0$ 5\cdot 0 możemy odczytać jako “dodaj do siebie kolejno pięć zer”. Zatem,

5\cdot 0 = \underbrace{0+0+0+0+0}_{5 \text{ elementów}}=0

(0)

Mnożenie

Przemienność mnożenia

“Sprytne” mnożenie

Mnożenie przez 1111

Mnożenie przez 0000

Mnożenie przez $1$ 1

Mnożenie przez $0$ 0