Ciąg arytmetyczny

Ciąg liczbowy $(a_n)$(a_n) nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeżeli każdy następny wyraz tego ciągu różni się od poprzedniego o stałą wartość $r\in\mathbb{R}$r\in\mathbb{R}, czyli gdy dla dowolnego $n\in\mathbb{N_+}$n\in\mathbb{N_+} zachodzi:

Liczbę $r$r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.

Ciąg liczbowy $\left(a_n\right)$\left(a_n\right) jest ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy dla $n>1$n>1, $n-$n-ty wyraz tego ciągu jest średnią arytmetyczną dwóch sąsiednich wyrazów:

Suma $n$n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $\left(a_n\right)$\left(a_n\right) jest równa średniej arytmetycznej pierwszego oraz ostatniego wyrazu, pomnożonej przez liczbę wyrazów:

lub równoważnie:

Jeżeli $k<n$k<n, to suma ciągu arytmetycznego od wyrazu $k$k do $n$n dana jest wzorem:

Dodatkowo,

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie $a_1$a_1 oraz różnicy $r$r przyjmuje postać:

Ogólniej, dla dowolnego $k\in \mathbb{N_+}$k\in \mathbb{N_+}:

Ciąg arytmetyczny $\left(a_n\right)$\left(a_n\right) o różnicy $r$r jest:

• malejący, jeżeli $r<0$r<0.

• stały, jeżeli $r=0$r=0.

• rosnący, jeżeli $r>0$r>0.