Ciągi

Ciągiem nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich (lub jego podzbiór początkowych liczb naturalnych):

gdzie $a_n$a_n​ oznacza $n$n-ty wyraz ciągu, a $X$X to zbiór wartości ciągu.
W praktyce ciąg przedstawia się jako uporządkowany zbiór elementów:

gdzie każdy element $a_n$a_n jest jednoznacznie określony dla $n\in\mathbb{N}$n\in\mathbb{N}.

Jeżeli wyrazami ciągu są liczby rzeczywiste, to ciąg nazywamy ciągiem liczbowym.

Ciągi mogą być:

1. skończone, gdy mają ograniczoną liczbę wyrazów, tj. gdy ich dziedziną jest skończony zbiór $\{1,2,\ldots,n\}$\{1,2,\ldots,n\}. Mówimy wówczas że ciąg jest $n-$n-elementowy

2. nieskończone, gdy liczba wyrazów jest nieskończona, tj. dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich.

O ile wartości funkcji w punkcie $x$x zapisujemy $f(x)$f(x), tak w przypadku ciągów argument, czyli liczbę naturalną zapisujemy w indeksie dolnym: $a_n$a_n.

O ile w zbiorze liczbowym kolejność wyrazów nie ma znaczenia, tak w przypadku ciągu jak najbardziej ma:

Wzór (wyraz) ogólny ciągu to wyrażenie wyrażenie pozwalające obliczyć wartość dowolnego wyrazu tego ciągu:

Ciąg $(a_n)$(a_n) jest określony rekurencyjnie, jeżeli:

• określone są wartości początkowych $k\in\mathbb{N_+}$k\in\mathbb{N_+} wyrazów ciągu $a_1,a_2,\ldots,a_k$a_1,a_2,\ldots,a_k.

• każdy kolejny wyraz $n>k$n>k jest wyrażony za pomocą wcześniejszych wyrazów:

  $$a_n=f(a_{n+1},a_{n-2},\ldots,a_{n-k}),$$

  a_n=f(a_{n+1},a_{n-2},\ldots,a_{n-k}),(0)

  gdzie $f$f to ustalona funkcja.

Sumą $n$n początkowych wyrazów ciągu liczbowego $\left(a_n\right)$\left(a_n\right) nazywamy wyrażenie: