Niech X będzie dowolnym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub operacją wewnętrzną) w zbiorze X nazywamy funkcję \circ:X\times X\to X, która każdej parze elementów (a,b)\in X\times X przyporządkowuje element a\circ b\in X.
Innymi słowy, działanie wewnętrzne to takie działanie, które łączy dwa elementy zbioru X i zwraca wynik również należący do zbioru X.
Działanie wewnętrzne w zbiorze X nazywamy również działaniem wykonalnym w tym zbiorze. Pozostałe działania nazywamy niewykonalnymi.
Zbiór liczb naturalnych jest zbiorem nieskończonym, którego najmniejszy element to 0 a największy nie istnieje.
W zbiorze liczb naturalnych:
dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi,
odejmowanie i dzielenie nie są wykonalne ponieważ różnica może być liczbą ujemną a iloraz - wymierną.
Zbiór liczb całkowitych jest zbiorem nieskończonym i nie ma ani elementu najmniejszego, ani największego.
W zbiorze liczb naturalnych:
dodawanie, odejmowanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi,
dzielenie nie jest wykonalne ponieważ iloraz może być liczbą wymierną.
Zbiór liczb wymiernych jest zbiorem nieskończonym i nie ma ani elementu najmniejszego, ani największego.
W zbiorze liczb wymiernych działaniami wewnętrznymi są dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie.
Zbiór liczb niewymiernych jest zbiorem nieskończonym i nie ma ani elementu najmniejszego, ani największego. Co więcej, jest on nawet liczniejszy niż zbiór liczb wymiernych.
W zbiorze liczb niewymiernych działania dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia nie są wykonalne.
W zbiorze liczb rzeczywistych działaniami wewnętrznymi są dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie.