Podobnie jak w przypadku liczb, dzielenie wielomianów polega na podzieleniu jednego wielomianu przez drugi, aby otrzymać iloraz i ewentualnie resztę. Wyróżniamy kilka metod dzielenia, w tym dzielenie pisemne oraz schemat Hornera, który jest szczególnie przydatny przy dzieleniu przez dwumian postaci x-c.
Tak jak przy dzieleniu liczb mamy:
tak w przypadku wielomianów mamy:
\displaystyle (x^3-4x^2+7x+6):(x-2)=x^2-2x+3 ponieważ
\begin{aligned} (x^2-2x+3) \cdot (x-2)&=x^3-2x^2-2x^2+4x+3x-6\\&=x^3-4x^2+7x-6 \end{aligned}(0)
Mówimy, że wielomian w(x) jest podzielny przez wielomian v(x), jeżeli istnieje wielomian s(x), taki że:
Wielomian s(x) nazywamy ilorazem wielomianu w(x) przez v(x), a wielomian v(x) to dzielnik wielomianu w(x).
Niech dane będą wielomiany w oraz v. Jeżeli v jest wielomianem niezerowym, to istnieją dwa wielomiany q oraz r, takie że
gdzie
Niech dany będzie wielomian w (dowolnego stopnia). Wówczas reszta z dzielenia wielomianu w przez dwumian x-a wynosi
oraz istnieje wielomian v(x) taki że
Z powyższego Twierdzenia wynika, że a jest pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy w(a)=0.
Wielomian w(x) jest podzielny przez dwumian (x-a) wtedy i tylko wtedy, gdy liczba a jest pierwiastkiem tego wielomianu.
Schemat Hornera ma swoje zastosowane gdy dzielimy wielomian przez dwumian liniowy x-c, tj. w następujących przypadkach:
Wynikiem dzielenia przez dwumian liniowy jest wielomian o jeden stopień niższy od początkowego.
Do tabeli w schemacie Hornera należy wpisać wszystkie współczynniki wielomianu, również te zerowe!