logo

Ciąg Fibonacciego

Definicja 1

Ciąg Fibonacciego to ciąg w którym pierwsze dwa wyrazy to 11 i 11 a każdy następny jest sumą dwóch poprzednich:

Fn={1,dla n=11,dla n=2Fn−1+Fn−2,dla n>2F_n=\begin{cases} 1,&\text{dla }n=1\\ 1,&\text{dla }n=2\\ F_{n-1}+F_{n-2},&\text{dla }n>2 \end{cases}
(0)

Kolejne wyrazy ciągu FnF_nnazywamy liczbami Fibonacciego.

Twierdzenie 1

Wzór ogólny ciągu Fibonacciego przyjmuje postać:

Fn=(1+52)n−(1−52)n5.F_n=\dfrac{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}}.
(0)