Miejsca zerowe funkcji kwadratowej

Niech dana będzie funkcja kwadratowa $f(x)=ax^2+bx+c$f(x)=ax^2+bx+c oraz niech $\Delta$\Delta będzie jej wyróżnikiem. Wówczas:

• Jeżeli $\Delta>0$\Delta>0, to funkcja ma dokładnie dwa miejsca zerowe dane wzorami:

  $$\begin{align*} x_1&= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\ x_2&= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \end{align*}$$

  \begin{align*} x_1&= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\ x_2&= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \end{align*}(0)

• Jeżeli $\Delta=0$\Delta=0, to funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe dane wzorem:

  $$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$$

  x_1=x_2=-\frac{b}{2a}(0)

• Jeżeli $\Delta < 0$\Delta < 0, to funkcja nie ma miejsc zerowych.

Postacią iloczynową funkcji kwadratowej nazywamy wyrażenie postaci

gdzie $x_1,x_2$x_1,x_2 to miejsca zerowe funkcji $f$f (tj. gdy $\Delta >0$\Delta >0) oraz wyrażenie postaci

gdy $x_0$x_0 to jedyne miejsce zerowe (pierwiastek podwójny) funkcji $f$f $(\Delta=0)$(\Delta=0).

Rozkładem funkcji na czynniki liniowe nazywamy proces zamiany postaci ogólnej funkcji kwadratowej na postać iloczynową.

Naturalnie, postać iloczynowa funkcji kwadratowej istnieje jedynie wtedy, gdy funkcja posiada miejsce zerowe, czyli gdy $\Delta \ge0$\Delta \ge0.