Funkcja wykładnicza

Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} postaci

gdzie $a>0$a>0, $a\neq 1$a\neq 1. Wykresem funkcji wykładniczej jest krzywa wykładnicza, a dziedziną - zbiór liczb rzeczywistych.

Niech dana będzie funkcja wykładnicza

Wówczas:

• Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych:

  $$D_f=\mathbb{R}$$

  D_f=\mathbb{R}(0)

• dla dowolnego $x\in\mathbb{R}$x\in\mathbb{R} zachodzi $f(x)>0$f(x)>0

• Funkcja jest rosnąca dla $a>1$a>1 oraz malejąca dla $a\in(0,1)$a\in(0,1), tj.:

  $$a\in (1,+\infty),x_1,x_2\in\mathbb{R}\Rightarrow a^{x_1}<a^{x_2}\iff x_1>x_2$$

  a\in (1,+\infty),x_1,x_2\in\mathbb{R}\Rightarrow a^{x_1}<a^{x_2}\iff x_1>x_2(0)
  $$a\in (0,1),x_1,x_2\in\mathbb{R}\Rightarrow a^{x_1}<a^{x_2}\iff x_1<x_2$$

  a\in (0,1),x_1,x_2\in\mathbb{R}\Rightarrow a^{x_1}<a^{x_2}\iff x_1<x_2(0)

• Funkcja nie ma miejsc zerowych

• Funkcja jest różnowartościowa, tj. dla dowolnych $a\in\left(0,1\right)\cup\left(1,+\infty\right)$a\in\left(0,1\right)\cup\left(1,+\infty\right) i $x_1,x_2\in\mathbb{R}$x_1,x_2\in\mathbb{R} zachodzi:

  $$a^{x_1}=a^{x_2}\iff x_1=x_2$$

  a^{x_1}=a^{x_2}\iff x_1=x_2(0)

• Funkcja wykładnicza przecina oś $OY$OY w punkcie $(0,1)$(0,1).