Funkcja wymierna

Niech dane będą dwa wielomiany $p$p oraz $q$q, gdzie $q\not\equiv 0$q\not\equiv 0. Wówczas funkcją wymierną nazywamy funkcję będącą ilorazem tych wielomianów:

Dziedziną funkcji wymiernej $f$f jest dziedzina wielomianu $p$p z wyłączeniem miejsc zerowych wielomianu $q$q.

Funkcjami wymiernymi są w szczególności funkcje wielomianowe i homograficzne.

Mówimy, że funkcja wymierna jest właściwa, jeżeli stopień wielomianu $p$p jest mniejszy od stopnia wielomianu $q$q. W przeciwnym wypadku mówimy o funkcji wymiernej niewłaściwej.

Każdą funkcję wymierną niewłaściwą można przedstawić w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej.

Mówimy, że dwie zmienne $x$x oraz $y$y są odwrotnie proporcjonalne, jeżeli ich iloczyn jest stały, tj.

gdzie $a,x,y\neq 0$a,x,y\neq 0. Funkcję

nazywamy proporcjonalnością odwrotną, a liczbę $a$a - współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.

Proporcjonalność odwrotna oznacza że wraz ze wzrostem jednej wartości, druga proporcjonalnie maleje, a wraz ze spadkiem - druga rośnie.

Przykładem jest wzór na prędkość - im szybciej się poruszamy $(v)$(v) tym mniej czasu potrzebujemy $(t)$(t).

Funkcją homograficzną nazywamy funkcję postaci (tzw. postać ogólna)

gdzie $c\neq0$c\neq0, $ad-cb\neq 0$ad-cb\neq 0 oraz $\displaystyle x\in\mathbb{R}\backslash\left\{-\frac{d}{c}\right\}$\displaystyle x\in\mathbb{R}\backslash\left\{-\frac{d}{c}\right\}.

Warunki $c\neq$c\neq oraz $ad-cb\neq 0$ad-cb\neq 0 występujące w definicji funkcji homograficznej gwarantują, że postaci funkcji homograficznej (ilorazu dwóch funkcji liniowych) nie da się sprowadzić do funkcji liniowej.

Postacią kanoniczną funkcji homograficznej $\displaystyle f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$\displaystyle f(x)=\frac{ax+b}{cx+d} nazywamy wzór postaci:

gdzie $r\neq 0$r\neq 0 oraz $x\in\mathbb{R}\backslash\{p\}$x\in\mathbb{R}\backslash\{p\}.

Wykresem funkcji homograficznej $\displaystyle f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$\displaystyle f(x)=\frac{ax+b}{cx+d} jest hiperbola która:

• przecina oś $OX$OX w punkcie $\displaystyle \left(- \frac{b}{a},0 \right)$\displaystyle \left(- \frac{b}{a},0 \right) o ile $a\neq 0$a\neq 0

• przecina oś $OY$OY w punkcie $\displaystyle \left(0, \frac{b}{d} \right)$\displaystyle \left(0, \frac{b}{d} \right) o ile $d\neq 0$d\neq 0

Wówczas wykres funkcji $\displaystyle f(x)=\frac{r}{x-p}+q$\displaystyle f(x)=\frac{r}{x-p}+q to wykres funkcji $\displaystyle f(x)=\frac{r}{x}$\displaystyle f(x)=\frac{r}{x} przesunięty o wektor $[p,q]$[p,q].

Asymptotami wykresu funkcji homograficznej $f(x)=\frac{r}{x-p}+q$f(x)=\frac{r}{x-p}+q gdzie $r\neq 0$r\neq 0 są proste $x=p$x=p oraz $y=q$y=q. Jeżeli $f$f jest dana w postaci ogólnej $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d} to asymptotami wykresu tej funkcji są proste $x=-\frac{d}{c}$x=-\frac{d}{c} (asymptota pionowa) oraz $y=\frac{a}{c}$y=\frac{a}{c} (asymptota pozioma)

Suma, różnica, iloczyn oraz iloraz funkcji wymiernych jest funkcją wymierną.