Funkcje ciągłe

Funkcja $f$f jest ciągła w punkcie $x_0\in D_f$x_0\in D_f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica właściwa $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) oraz $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).

Funkcja $f$f określona w lewostronnym (odpowiednio: prawostronnym) otoczeniu punktu $x_0$x_0 jest lewostronnie (odpowiednio: prawostronnie) ciągła w punkcie $x_0$x_0, gdy istnieje granica $\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)$\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x) (odpowiednio: $\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)$\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)) oraz $\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0)$\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0) (odpowiednio: $\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)$\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)).

Punkty dziedziny funkcji w której ta funkcje nie jest ciągła nazywamy punktami nieciągłości tej funkcji.

Mówimy, że funkcja jest ciągła w przedziale otwartym $\left(a,b\right)$\left(a,b\right) jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.

Funkcję $f:[a,b]\to\mathbb{R}$f:[a,b]\to\mathbb{R} nazywamy ciągła w przedziale domkniętym $[a,b]$[a,b], jeżeli jest ciągłą w przedziale $(a,b)$(a,b) oraz jest prawostronnie ciągła w punkcie $a$a i lewostronnie ciągła w punkcie $b$b.

Mówimy, że funkcja jest ciągła jeżeli jest ciągła w całej swojej dziedzinie.

O ciągłości funkcji w punkcie (lub na całej dziedzinie) możesz myśleć jak o nieprzerywalności wykresu tej funkcji w tym punkcie (lub na całej dziedzinie). Innymi słowy, wykres funkcji nie posiada “skoków”.

Wszystkie funkcje: wielomianowe, wymierne, wykładnicze, logarytmiczne oraz trygonometryczne są ciągłe w każdym punkcie swojej dziedziny.

Jeżeli funkcje $f$f i $g$g są ciągłe w punkcie $x_0$x_0, to funkcje $f+g$f+g, $f-g$f-g, $f \cdot g$f \cdot g oraz $\displaystyle \frac{f}{g}$\displaystyle \frac{f}{g} (o ile $g(x_0)\neq 0$g(x_0)\neq 0) również są ciągłe w punkcie $x_0$x_0.

Jeżeli funkcja $f$f jest ciągła w przedziale domkniętym $\left[a,b\right]$\left[a,b\right] oraz $f(a)\neq f(b)$f(a)\neq f(b), to dla dowolnego $d$d spełniającego jedną z nierówności

istnieje taka liczba $c\in[a,b]$c\in[a,b], że:

Niech dana będzie funkcja $f$f określona w pewnym otoczeniu $U(x_0,\varepsilon)$U(x_0,\varepsilon) punktu $x_0$x_0, ciągła w punkcie $x_0$x_0 oraz taka że $f(x_0)>0$f(x_0)>0 (odpowiednio: $f(x_0)<0$f(x_0)<0). Wówczas istnieje otoczenie $U'(x_0,\varepsilon')\subset U(x_0,\varepsilon)$U'(x_0,\varepsilon')\subset U(x_0,\varepsilon) punktu $x_0$x_0, oraz dla dowolnego $x\in U'(x_0,\varepsilon')$x\in U'(x_0,\varepsilon') zachodzi $f(x)>0$f(x)>0 (odpowiednio: $f(x)<0$f(x)<0)