Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

Niech w układzie współrzędnych dany będzie kąt $\alpha$\alpha którego wierzchołkiem jest początek układ współrzędnych, jedno z ramion (tzw. pierwsze ramię) pokrywa się z dodatnią półosią $OX$OX, a drugie ramię (tzw. ramie końcowe) leży w dowolnej z ćwiartek układu. Na ramieniu końcowym wybieramy punkt $P=(x,y)$P=(x,y), różny od początku układu współrzędnych, tj. $P\neq(0,0)$P\neq(0,0) oraz leżący na ramieniu końcowym kąta $\alpha\in[0^\circ, 360^\circ]$\alpha\in[0^\circ, 360^\circ]. Wówczas funkcje trygonometryczne kąta $\alpha$\alpha definiujemy następująco:

gdzie

Dodatkowo, dla dowolnego $k\in\mathbb{Z}$k\in\mathbb{Z}:

Zauważ, że wprost z powyższej definicji wynika, że:

• tangens nie istnieje dla kątów $90^\circ$90^\circ i $270^\circ$270^\circ .

• cotangens nie istnieje dla kątów $0^\circ$0^\circ i $180^\circ$180^\circ

natomiast sinus i cosinus istnieją dla dowolnego kąta.

Dla kątów ostrych $\alpha\in(0^\circ ,90^\circ )$\alpha\in(0^\circ ,90^\circ ) powyższa definicja jest równoważna definicji funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych.

Wartości funkcji trygonometrycznych nie zależą od wyboru punktu $P$P na ramieniu końcowym kąta.

Tangens i cotangens mogą przyjmować dowolne wartości rzeczywiste, natomiast wartości sinusa i cosinusa zawsze mieszczą się w przedziale $[-1,1]$[-1,1].

Zachodzą następujące zależności pomiędzy wartościami funkcji trygonometrycznych:

1. Dla dowolnego $\alpha\in[0^\circ ,360^\circ ]$\alpha\in[0^\circ ,360^\circ ] (jedynka trygonometryczna)

   $$\begin{aligned} \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \end{aligned}$$

   \begin{aligned} \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \end{aligned}(0)

2. Dla dowolnego $\alpha\in[0^\circ ,360^\circ ]$\alpha\in[0^\circ ,360^\circ ], $\alpha\neq 90^\circ ,\alpha\neq270^\circ$\alpha\neq 90^\circ ,\alpha\neq270^\circ :

   $$\displaystyle \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$

   \displaystyle \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(0)

3. Dla dowolnego $\alpha\in[0^\circ ,360^\circ ]$\alpha\in[0^\circ ,360^\circ ], $\alpha\neq180^\circ$\alpha\neq180^\circ :

   $$\displaystyle \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$$

   \displaystyle \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}(0)

4. Dla dowolnego $\alpha\in[0^\circ ,360^\circ ]$\alpha\in[0^\circ ,360^\circ ], $\alpha\neq 90^\circ ,\alpha\neq180^\circ,\alpha\neq270^\circ$\alpha\neq 90^\circ ,\alpha\neq180^\circ,\alpha\neq270^\circ :

   $$\tg\alpha \cdot \ctg\alpha=1$$

   \tg\alpha \cdot \ctg\alpha=1(0)

Rozważmy funkcje trygonometryczne $\sin,\cos,\tg$\sin,\cos,\tg i $\ctg$\ctg w układzie współrzędnych. Wówczas:

• w pierwszej ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie

• w drugiej ćwiartce dodatni jest tylko sinus

• w trzeciej ćwiartce dodatnie są tangens i cotangens

• w czwartej ćwiartce dodatni jest tylko cosinus

Zapamiętanie znaku funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych ułatwi nam następująca rymowanka:

W pierwszej ćwiartce same plusy,

w drugiej tylko sinus,

w trzeciej tangens i cotangens,

w czwartej cosinus.