Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

Niech w układzie współrzędnych dany będzie kąt $\alpha$\alpha którego wierzchołkiem jest początek układ współrzędnych, jedno z ramion (tzw. pierwsze ramię) pokrywa się z dodatnią półosią $OX$OX, a drugie ramię (tzw. ramie końcowe) leży w dowolnej z ćwiartek układu. Na ramieniu końcowym wybieramy punkt $P=(x,y)$P=(x,y), różny od początku układu współrzędnych, tj. $P\neq(0,0)$P\neq(0,0) oraz leżący na ramieniu końcowym kąta $\alpha\in[0^\circ, 360^\circ]$\alpha\in[0^\circ, 360^\circ]. Wówczas funkcje trygonometryczne kąta $\alpha$\alpha definiujemy następująco:

gdzie

Dodatkowo, dla dowolnego $k\in\mathbb{Z}$k\in\mathbb{Z}:

Zauważ, że wprost z powyższej definicji wynika, że:

• tangens nie istnieje dla kątów $90^\circ$90^\circ i $270^\circ$270^\circ .

• cotangens nie istnieje dla kątów $0^\circ$0^\circ i $180^\circ$180^\circ

natomiast sinus i cosinus istnieją dla dowolnego kąta.

Dla kątów ostrych $\alpha\in(0^\circ ,90^\circ )$\alpha\in(0^\circ ,90^\circ ) powyższa definicja jest równoważna definicji funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych.

Wartości funkcji trygonometrycznych nie zależą od wyboru punktu $P$P na ramieniu końcowym kąta.

Tangens i cotangens mogą przyjmować dowolne wartości rzeczywiste, natomiast wartości sinusa i cosinusa zawsze mieszczą się w przedziale $[-1,1]$[-1,1].

Mówimy, że funkcja $f:D\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$f:D\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} jest okresowa jeżeli istnieje $T\neq0$T\neq0 takie, że dowolnego $x\in D$x\in D, liczba $x+T\in D$x+T\in D oraz zachodzi równość $f(x+T)=f(x)$f(x+T)=f(x). Liczbę $T$T nazywamy okresem funkcji $f$f a o samej funkcji $f$f możemy również powiedzieć że jest funkcją $T-$T-okresową.

Miara stopniowa kąta to sposób określania wielkości kąta, w którym pełny obrót, odpowiadający kątowi pełnemu, jest podzielony na $360$360 równych części, zwanych stopniami. Jeden stopień oznaczany symbolem $(^\circ)$(^\circ) jest równy $\frac{1}{360}$\frac{1}{360}​ kąta pełnego. W mierzej stopniowej obowiązuje następująca hierarchia podziału:

• Jednostką podstawową jest $1^\circ$1^\circ,

• Kąt pełny ma $360^\circ$360^\circ.

• Jeden stopień $(1^\circ)$(1^\circ) dzieli się na $60$60 minut kątowych $(1')$(1'), gdzie $1'=\frac{1}{60}^\circ$1'=\frac{1}{60}^\circ

• Jedna minuta kątowa $(1')$(1') dzieli się na $60$60 sekund kątowych $(1'')$(1''), gdzie $1''=\frac{1}{60}'=\frac{1}{3600}^\circ$1''=\frac{1}{60}'=\frac{1}{3600}^\circ

Miarą łukową kąta $\alpha$\alpha nazywamy stosunek długości łuku $l$l na którym ten kąt jest oparty, do długości promienia okręgu $r$r, dla którego kąt $\alpha$\alpha jest kątem środkowym.

W mierze łukowej:

• Jednostką podstawową jest jeden radian $(1\ \text{rad})$(1\ \text{rad})

• Kąt pełny ma $2\pi$2\pi radianów.

Ponieważ $360^\circ =2\pi \text{ rad}$360^\circ =2\pi \text{ rad}, to $1^\circ = \frac{\pi}{180^\circ }$1^\circ = \frac{\pi}{180^\circ } , zatem $n^\circ = \frac{n\pi }{180 }\text{ rad}$n^\circ = \frac{n\pi }{180 }\text{ rad} oraz $n\text{rad}= \frac{n \cdot 180^\circ }{\pi}$n\text{rad}= \frac{n \cdot 180^\circ }{\pi}

Zachodzą następujące zależności pomiędzy wartościami funkcji trygonometrycznych:

1. Dla dowolnego $\alpha\in[0^\circ ,360^\circ ]$\alpha\in[0^\circ ,360^\circ ] (jedynka trygonometryczna)

   $$\begin{aligned} \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \end{aligned}$$

   \begin{aligned} \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \end{aligned}(0)

2. Dla dowolnego $\alpha\in[0^\circ ,360^\circ ]$\alpha\in[0^\circ ,360^\circ ], $\alpha\neq 90^\circ ,\alpha\neq270^\circ$\alpha\neq 90^\circ ,\alpha\neq270^\circ :

   $$\displaystyle \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$

   \displaystyle \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(0)

3. Dla dowolnego $\alpha\in[0^\circ ,360^\circ ]$\alpha\in[0^\circ ,360^\circ ], $\alpha\neq180^\circ$\alpha\neq180^\circ :

   $$\displaystyle \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$$

   \displaystyle \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}(0)

4. Dla dowolnego $\alpha\in[0^\circ ,360^\circ ]$\alpha\in[0^\circ ,360^\circ ], $\alpha\neq 90^\circ ,\alpha\neq180^\circ,\alpha\neq270^\circ$\alpha\neq 90^\circ ,\alpha\neq180^\circ,\alpha\neq270^\circ :

   $$\tg\alpha \cdot \ctg\alpha=1$$

   \tg\alpha \cdot \ctg\alpha=1(0)

Zachodzą następujące wzory redukcyjne dla kąta $90^\circ +\alpha$90^\circ +\alpha:

1. Dla $a\in[0^\circ ,270^\circ ]$a\in[0^\circ ,270^\circ ]:

   $$\sin(90^\circ+\alpha)=\cos\alpha$$

   \sin(90^\circ+\alpha)=\cos\alpha(0)

2. Dla $a\in[0^\circ ,270^\circ ]$a\in[0^\circ ,270^\circ ]:

   $$\cos(90^\circ+\alpha)=-\sin\alpha$$

   \cos(90^\circ+\alpha)=-\sin\alpha(0)

3. Dla $a\in(0^\circ ,180^\circ )\cup(180^\circ ,270^\circ )$a\in(0^\circ ,180^\circ )\cup(180^\circ ,270^\circ ):

   $$\tg(90^\circ+\alpha)=-\ctg\alpha$$

   \tg(90^\circ+\alpha)=-\ctg\alpha(0)

4. Dla $a\in(0^\circ ,90^\circ )\cup(90^\circ ,270^\circ )$a\in(0^\circ ,90^\circ )\cup(90^\circ ,270^\circ ):

   $$\ctg(90^\circ+\alpha)=-\tg\alpha$$

   \ctg(90^\circ+\alpha)=-\tg\alpha(0)

Zachodzą następujące wzory redukcyjne dla kąta $180^\circ -\alpha$180^\circ -\alpha:

1. Dla $a\in[0^\circ ,180^\circ ]$a\in[0^\circ ,180^\circ ]:

   $$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$$

   \sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha(0)

2. Dla $a\in[0^\circ ,180^\circ ]$a\in[0^\circ ,180^\circ ]:

   $$\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$$

   \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha(0)

3. Dla $a\in[0^\circ ,90^\circ )\cup(90^\circ ,180^\circ )$a\in[0^\circ ,90^\circ )\cup(90^\circ ,180^\circ ):

   $$\tg(180^\circ-\alpha)=-\tg\alpha$$

   \tg(180^\circ-\alpha)=-\tg\alpha(0)

4. Dla $a\in(0^\circ ,180^\circ )$a\in(0^\circ ,180^\circ ):

   $$\ctg(180^\circ-\alpha)=-\ctg\alpha$$

   \ctg(180^\circ-\alpha)=-\ctg\alpha(0)

Zachodzą następujące wzory redukcyjne dla kąta $180^\circ +\alpha$180^\circ +\alpha:

1. Dla $a\in[0^\circ ,180^\circ ]$a\in[0^\circ ,180^\circ ]:

   $$\sin(180^\circ+\alpha)=-\sin\alpha$$

   \sin(180^\circ+\alpha)=-\sin\alpha(0)

2. Dla $a\in[0^\circ ,180^\circ ]$a\in[0^\circ ,180^\circ ]:

   $$\cos(180^\circ+\alpha)=-\cos\alpha$$

   \cos(180^\circ+\alpha)=-\cos\alpha(0)

3. Dla $a\in[0^\circ ,90^\circ )\cup(90^\circ ,180^\circ )$a\in[0^\circ ,90^\circ )\cup(90^\circ ,180^\circ ):

   $$\tg(180^\circ+\alpha)=\tg\alpha$$

   \tg(180^\circ+\alpha)=\tg\alpha(0)

4. Dla $a\in(0^\circ ,180^\circ )$a\in(0^\circ ,180^\circ ):

   $$\ctg(180^\circ+\alpha)=\ctg\alpha$$

   \ctg(180^\circ+\alpha)=\ctg\alpha(0)

Zachodzą następujące wzory redukcyjne dla kąta $270^\circ +\alpha$270^\circ +\alpha:

Zachodzą następujące wzory redukcyjne dla kąta $270^\circ -\alpha$270^\circ -\alpha:

Zachodzą następujące wzory redukcyjne dla kąta $360^\circ-\alpha$360^\circ-\alpha:

Zachodzą następujące wzory redukcyjne dla kąta $360^\circ+\alpha$360^\circ+\alpha:

Dla dowolnych $x,y\in\mathbb{R}$x,y\in\mathbb{R} zachodzą następujące równości:

Dodatkowo:

Dla dowolnego $x\in\mathbb{R}$x\in\mathbb{R} zachodzą następujące równości:

Zapamiętanie znaku funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych ułatwi nam następująca rymowanka:

W pierwszej ćwiartce same plusy,

w drugiej tylko sinus,

w trzeciej tangens i cotangens,

w czwartej cosinus.