MathWizards

Trygonometria to gałąź matematyki badająca relacje między długościami boków a kątami wewnętrznymi trójkątów. Jej rozwinięciem są funkcje trygonometryczne, które odgrywają istotną rolę w analizie matematycznej.

Definicja 1

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

W trójkącie prostokątnym wyróżniamy następujące funkcje trygonometryczne kąta ostrego $\alpha$ \alpha:

Sinus - stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta do długości przeciwprostokątnej
$\sin\alpha=\frac{a}{c}$
\sin\alpha=\frac{a}{c}(0)
Cosinus - Stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie do długości przeciwprostokątnej
$\cos\alpha=\frac{b}{c}$
\cos\alpha=\frac{b}{c}(0)
Tangens - Stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta do długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie
$\tg\alpha=\frac{a}{b}$
\tg\alpha=\frac{a}{b}(0)
Cotangens - stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie do długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta
$\ctg \alpha=\frac{b}{a}$
\ctg \alpha=\frac{b}{a}(0)

Uwaga 1

Uwaga

Wprost z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wynika, że $\sin\alpha\in(0,1)$ \sin\alpha\in(0,1), $\cos\alpha\in(0,1)$ \cos\alpha\in(0,1), $\tg\alpha>0$ \tg\alpha>0 oraz $\ctg\alpha>0$ \ctg\alpha>0.

Jak doskonale wiemy, w trójkątach prostokątnych o kątach $30^\circ ,60^\circ$ 30^\circ ,60^\circ oraz $45^\circ$ 45^\circ zachodzą specjalne zależności pomiędzy długościami boków, dzięki którym możemy z łatwością wyznaczyć wartości funkcji trygonometrycznych dla tych właśnie kątów. Jeśli zatem będziemy mieć problem z ich zapamiętaniem, możemy je błyskawicznie obliczyć.

$\alpha$ \alpha	$0^\circ$ 0^\circ	$30^\circ$ 30^\circ	$45^\circ$ 45^\circ	$60^\circ$ 60^\circ	$90^\circ$ 90^\circ
$\sin\alpha$ \sin\alpha	$0$ 0	$\frac{1}{2}$ \frac{1}{2}	$\frac{\sqrt{2}}{2}$ \frac{\sqrt{2}}{2}	$\frac{\sqrt{3}}{2}$ \frac{\sqrt{3}}{2}	$1$ 1
$\cos\alpha$ \cos\alpha	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$ \frac{\sqrt{3}}{2}	$\frac{\sqrt{2}}{2}$ \frac{\sqrt{2}}{2}	$\frac{1}{2}$ \frac{1}{2}	$0$ 0
$\tg\alpha$ \tg\alpha	$0$ 0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$ \frac{\sqrt{3}}{3}	$1$ 1	$\sqrt{3}$ \sqrt{3}	nie istnieje
$\ctg\alpha$ \ctg\alpha	nie istnieje	$\sqrt{3}$ \sqrt{3}	$1$ 1	$\frac{\sqrt{3}}{3}$ \frac{\sqrt{3}}{3}	$0$ 0

Tab. 1.

Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów.

Uwaga 2

Uwaga

Potęgi funkcji symetrycznych, tj. np. $\left(\sin\alpha\right)^{2}$ \left(\sin\alpha\right)^{2} zapisujemy bez nawiasu, umieszczając potęgę tuż przy nazwie funkcji trygonometrycznej, tj. $\sin^2\alpha$ \sin^2\alpha.

Twierdzenie 1

Jedynka trygonometryczna

Dla dowolnego kąta ostrego $\alpha$ \alpha zachodzi

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

(0)

Twierdzenie 2

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Dla dowolnego kąta ostrego $\alpha$ \alpha zachodzą następujące zależności:

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 (jedynka trygonometryczna)
$\displaystyle \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ \displaystyle \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
$\displaystyle \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ \displaystyle \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}
$\tg\alpha \cdot \ctg\alpha=1$ \tg\alpha \cdot \ctg\alpha=1

Twierdzenie 3

Wzory redukcyjne kąta $90^\circ$ 90^\circ

Dla dowolnego kąta ostrego $\alpha$ \alpha zachodzą następujące równości:

$\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$ \sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha
$\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$ \cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha
$\tg(90^\circ-\alpha)=\ctg\alpha$ \tg(90^\circ-\alpha)=\ctg\alpha
$\ctg(90^\circ-\alpha)=\tg\alpha$ \ctg(90^\circ-\alpha)=\tg\alpha

Twierdzenie 4

Dodatkowe tożsamości trygonometryczne

Dla dowolnego kąta ostrego $\alpha$ \alpha zachodzą następujące równości:

$1+\tg^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}$ 1+\tg^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}
$1+\ctg^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}$ 1+\ctg^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}

Twierdzenie 5

Znak wartości funkcji trygonometrycznej

Jeżeli $\alpha\in(0, 90^\circ)$ \alpha\in(0, 90^\circ), to

\sin\alpha>0,\quad \cos\alpha>0,\quad\tg\alpha>0, \quad\ctg\alpha>0

(0)

Jeżeli $\alpha\in(90^\circ, 180^\circ)$ \alpha\in(90^\circ, 180^\circ), to:

\sin\alpha>0,\quad \cos\alpha<0,\quad\tg\alpha<0, \quad\ctg\alpha<0

(0)

Twierdzenie 6

Tożsamości trygonometryczne kąta wypukłego

Dla dowolnego kąta $\alpha\in[0, 180^\circ]$ \alpha\in[0, 180^\circ] zachodzą następujące równości:

\begin{align*} \sin(180^\circ-\alpha)&=\sin\alpha\\ \cos(180^\circ-\alpha)&=-\cos\alpha\\ \tg(180^\circ-\alpha)&=-\tg\alpha\quad (\alpha \neq 90^\circ)\\ \ctg(180^\circ-\alpha)&=-\ctg\alpha\quad (\alpha \neq 0^\circ \land \alpha\neq 180^\circ) \end{align*}

(0)

Twierdzenie 7

Współczynnik kierunkowy prostej

Współczynnik kierunkowy $a$ a prostej $y=ax+b$ y=ax+b ( $a\neq 0$ a\neq 0) jest równy tangensowi kąta $\alpha$ \alpha jaki ta prosta tworzy z osią $OX$ OX

a=\tg\alpha

(0)

$\alpha$ \alpha	$\sin\alpha$ \sin\alpha	$\cos\alpha$ \cos\alpha	$\tg\alpha$ \tg\alpha	$\ctg\alpha$ \ctg\alpha
0°	0	1	0	nie istnieje
1°	0.0175	0.9998	0.0175	57.29
2°	0.0349	0.9994	0.0349	28.6363
3°	0.0523	0.9986	0.0524	19.0811
4°	0.0698	0.9976	0.0699	14.3007
5°	0.0872	0.9962	0.0875	11.4301
6°	0.1045	0.9945	0.1051	9.5144
7°	0.1219	0.9925	0.1228	8.1443
8°	0.1392	0.9903	0.1405	7.1154
9°	0.1564	0.9877	0.1584	6.3138
10°	0.1736	0.9848	0.1763	5.6713
11°	0.1908	0.9816	0.1944	5.1446
12°	0.2079	0.9781	0.2126	4.7046
13°	0.225	0.9744	0.2309	4.3315
14°	0.2419	0.9703	0.2493	4.0108
15°	0.2588	0.9659	0.2679	3.7321
16°	0.2756	0.9613	0.2867	3.4874
17°	0.2924	0.9563	0.3057	3.2709
18°	0.309	0.9511	0.3249	3.0777
19°	0.3256	0.9455	0.3443	2.9042
20°	0.342	0.9397	0.364	2.7475
21°	0.3584	0.9336	0.3839	2.6051
22°	0.3746	0.9272	0.404	2.4751
23°	0.3907	0.9205	0.4245	2.3559
24°	0.4067	0.9135	0.4452	2.246
25°	0.4226	0.9063	0.4663	2.1445
26°	0.4384	0.8988	0.4877	2.0503
27°	0.454	0.891	0.5095	1.9626
28°	0.4695	0.8829	0.5317	1.8807
29°	0.4848	0.8746	0.5543	1.804
30°	0.5	0.866	0.5774	1.7321
31°	0.515	0.8572	0.6009	1.6643
32°	0.5299	0.848	0.6249	1.6003
33°	0.5446	0.8387	0.6494	1.5399
34°	0.5592	0.829	0.6745	1.4826
35°	0.5736	0.8192	0.7002	1.4281
36°	0.5878	0.809	0.7265	1.3764
37°	0.6018	0.7986	0.7536	1.327
38°	0.6157	0.788	0.7813	1.2799
39°	0.6293	0.7771	0.8098	1.2349
40°	0.6428	0.766	0.8391	1.1918
41°	0.6561	0.7547	0.8693	1.1504
42°	0.6691	0.7431	0.9004	1.1106
43°	0.682	0.7314	0.9325	1.0724
44°	0.6947	0.7193	0.9657	1.0355
45°	0.7071	0.7071	1	1
46°	0.7193	0.6947	1.0355	0.9657
47°	0.7314	0.682	1.0724	0.9325
48°	0.7431	0.6691	1.1106	0.9004
49°	0.7547	0.6561	1.1504	0.8693
50°	0.766	0.6428	1.1918	0.8391
51°	0.7771	0.6293	1.2349	0.8098
52°	0.788	0.6157	1.2799	0.7813
53°	0.7986	0.6018	1.327	0.7536
54°	0.809	0.5878	1.3764	0.7265
55°	0.8192	0.5736	1.4281	0.7002
56°	0.829	0.5592	1.4826	0.6745
57°	0.8387	0.5446	1.5399	0.6494
58°	0.848	0.5299	1.6003	0.6249
59°	0.8572	0.515	1.6643	0.6009
60°	0.866	0.5	1.7321	0.5774
61°	0.8746	0.4848	1.804	0.5543
62°	0.8829	0.4695	1.8807	0.5317
63°	0.891	0.454	1.9626	0.5095
64°	0.8988	0.4384	2.0503	0.4877
65°	0.9063	0.4226	2.1445	0.4663
66°	0.9135	0.4067	2.246	0.4452
67°	0.9205	0.3907	2.3559	0.4245
68°	0.9272	0.3746	2.4751	0.404
69°	0.9336	0.3584	2.6051	0.3839
70°	0.9397	0.342	2.7475	0.364
71°	0.9455	0.3256	2.9042	0.3443
72°	0.9511	0.309	3.0777	0.3249
73°	0.9563	0.2924	3.2709	0.3057
74°	0.9613	0.2756	3.4874	0.2867
75°	0.9659	0.2588	3.7321	0.2679
76°	0.9703	0.2419	4.0108	0.2493
77°	0.9744	0.225	4.3315	0.2309
78°	0.9781	0.2079	4.7046	0.2126
79°	0.9816	0.1908	5.1446	0.1944
80°	0.9848	0.1736	5.6713	0.1763
81°	0.9877	0.1564	6.3138	0.1584
82°	0.9903	0.1392	7.1154	0.1405
83°	0.9925	0.1219	8.1443	0.1228
84°	0.9945	0.1045	9.5144	0.1051
85°	0.9962	0.0872	11.4301	0.0875
86°	0.9976	0.0698	14.3007	0.0699
87°	0.9986	0.0523	19.0811	0.0524
88°	0.9994	0.0349	28.6363	0.0349
89°	0.9998	0.0175	57.29	0.0175
90°	1	0	nie istnieje	0

Tab. 2.

Wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych z przybliżeniem do 4 miejsc po przecinku.

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Uwaga

Uwaga

Jedynka trygonometryczna

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Wzory redukcyjne kąta 90∘90^\circ90∘90^\circ

Dodatkowe tożsamości trygonometryczne

Znak wartości funkcji trygonometrycznej

Tożsamości trygonometryczne kąta wypukłego

Współczynnik kierunkowy prostej

Komentarze (0)

Wzory redukcyjne kąta $90^\circ$ 90^\circ