MathWizards

Trygonometria to gałąź matematyki badająca relacje między długościami boków a kątami wewnętrznymi trójkątów. Jej rozwinięciem są funkcje trygonometryczne, które odgrywają istotną rolę w analizie matematycznej.

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego $\alpha$ \alpha — sinus, cosinus, tangens i cotangens — definiuje się na podstawie proporcji między bokami trójkąta prostokątnego.

Definicja 1

Sinus

Sinusem kąta ostrego $\alpha$ \alpha w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta $\alpha$ \alpha do długości przeciwprostokątnej:

\sin\alpha=\frac{a}{c}

(0)

Definicja 2

Cosinus

Cosinusem kąta ostrego $\alpha$ \alpha w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie $\alpha$ \alpha do długości przeciwprostokątnej:

\cos\alpha=\frac{b}{c}

(0)

Definicja 3

Tangens

Tangensem kąta ostrego $\alpha$ \alpha w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta $\alpha$ \alpha do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie $\alpha$ \alpha:

\tg\alpha=\frac{a}{b}

(0)

Definicja 4

Cotangens

Cotangensem kąta ostrego $\alpha$ \alpha w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie $\alpha$ \alpha do długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta $\alpha$ \alpha:

\ctg \alpha=\frac{b}{a}

(0)

Uwaga 1

Uwaga

Wprost z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wynika, że $\sin\alpha\in(0,1)$ \sin\alpha\in(0,1), $\cos\alpha\in(0,1)$ \cos\alpha\in(0,1), $\tg\alpha>0$ \tg\alpha>0 oraz $\ctg\alpha>0$ \ctg\alpha>0.

Jak doskonale wiemy, w trójkątach prostokątnych o kątach $30^\circ ,60^\circ$ 30^\circ ,60^\circ oraz $45^\circ$ 45^\circ zachodzą specjalne zależności pomiędzy długościami boków, dzięki którym możemy z łatwością wyznaczyć wartości funkcji trygonometrycznych dla tych właśnie kątów. Jeśli zatem będziemy mieć problem z ich zapamiętaniem, możemy je błyskawicznie obliczyć.

Twierdzenie 1

Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów ostrych

Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów ostrych oraz kąta zerowego i prostego zostały zebrane w poniższej tabeli:

$\alpha$ \alpha	$0^\circ$ 0^\circ	$30^\circ$ 30^\circ	$45^\circ$ 45^\circ	$60^\circ$ 60^\circ	$90^\circ$ 90^\circ
$\sin\alpha$ \sin\alpha	$0$ 0	$\frac{1}{2}$ \frac{1}{2}	$\frac{\sqrt{2}}{2}$ \frac{\sqrt{2}}{2}	$\frac{\sqrt{3}}{2}$ \frac{\sqrt{3}}{2}	$1$ 1
$\cos\alpha$ \cos\alpha	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$ \frac{\sqrt{3}}{2}	$\frac{\sqrt{2}}{2}$ \frac{\sqrt{2}}{2}	$\frac{1}{2}$ \frac{1}{2}	$0$ 0
$\tg\alpha$ \tg\alpha	$0$ 0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$ \frac{\sqrt{3}}{3}	$1$ 1	$\sqrt{3}$ \sqrt{3}	nie istnieje
$\ctg\alpha$ \ctg\alpha	nie istnieje	$\sqrt{3}$ \sqrt{3}	$1$ 1	$\frac{\sqrt{3}}{3}$ \frac{\sqrt{3}}{3}	$0$ 0

Tab. 1.

Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów.

Uwaga 2

Uwaga

Potęgi funkcji symetrycznych, tj. np. $\left(\sin\alpha\right)^{2}$ \left(\sin\alpha\right)^{2} zapisujemy bez nawiasu, umieszczając potęgę tuż przy nazwie funkcji trygonometrycznej, tj. $\sin^2\alpha$ \sin^2\alpha.

Twierdzenie 2

Jedynka trygonometryczna

Dla dowolnego kąta ostrego $\alpha$ \alpha zachodzi

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

(0)

Twierdzenie 3

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Dla dowolnego kąta ostrego $\alpha$ \alpha zachodzą następujące zależności:

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 (jedynka trygonometryczna)
$\displaystyle \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ \displaystyle \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
$\displaystyle \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ \displaystyle \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}
$\tg\alpha \cdot \ctg\alpha=1$ \tg\alpha \cdot \ctg\alpha=1

Twierdzenie 4

Dodatkowe tożsamości trygonometryczne

Dla dowolnego kąta ostrego $\alpha$ \alpha zachodzą następujące równości:

$1+\tg^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}$ 1+\tg^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}
$1+\ctg^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}$ 1+\ctg^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}

Twierdzenie 5

Tablica przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych oraz kąta zerowego i prostego, w przybliżeniu do czterech miejsc po przecinku zostały zebrane w poniższej tabeli:

$\alpha$ \alpha	$\sin\alpha$ \sin\alpha	$\cos\alpha$ \cos\alpha	$\tg\alpha$ \tg\alpha	$\ctg\alpha$ \ctg\alpha
0°	0	1	0	nie istnieje
1°	0.0175	0.9998	0.0175	57.29
2°	0.0349	0.9994	0.0349	28.6363
3°	0.0523	0.9986	0.0524	19.0811
4°	0.0698	0.9976	0.0699	14.3007
5°	0.0872	0.9962	0.0875	11.4301
6°	0.1045	0.9945	0.1051	9.5144
7°	0.1219	0.9925	0.1228	8.1443
8°	0.1392	0.9903	0.1405	7.1154
9°	0.1564	0.9877	0.1584	6.3138
10°	0.1736	0.9848	0.1763	5.6713
11°	0.1908	0.9816	0.1944	5.1446
12°	0.2079	0.9781	0.2126	4.7046
13°	0.225	0.9744	0.2309	4.3315
14°	0.2419	0.9703	0.2493	4.0108
15°	0.2588	0.9659	0.2679	3.7321
16°	0.2756	0.9613	0.2867	3.4874
17°	0.2924	0.9563	0.3057	3.2709
18°	0.309	0.9511	0.3249	3.0777
19°	0.3256	0.9455	0.3443	2.9042
20°	0.342	0.9397	0.364	2.7475
21°	0.3584	0.9336	0.3839	2.6051
22°	0.3746	0.9272	0.404	2.4751
23°	0.3907	0.9205	0.4245	2.3559
24°	0.4067	0.9135	0.4452	2.246
25°	0.4226	0.9063	0.4663	2.1445
26°	0.4384	0.8988	0.4877	2.0503
27°	0.454	0.891	0.5095	1.9626
28°	0.4695	0.8829	0.5317	1.8807
29°	0.4848	0.8746	0.5543	1.804
30°	0.5	0.866	0.5774	1.7321
31°	0.515	0.8572	0.6009	1.6643
32°	0.5299	0.848	0.6249	1.6003
33°	0.5446	0.8387	0.6494	1.5399
34°	0.5592	0.829	0.6745	1.4826
35°	0.5736	0.8192	0.7002	1.4281
36°	0.5878	0.809	0.7265	1.3764
37°	0.6018	0.7986	0.7536	1.327
38°	0.6157	0.788	0.7813	1.2799
39°	0.6293	0.7771	0.8098	1.2349
40°	0.6428	0.766	0.8391	1.1918
41°	0.6561	0.7547	0.8693	1.1504
42°	0.6691	0.7431	0.9004	1.1106
43°	0.682	0.7314	0.9325	1.0724
44°	0.6947	0.7193	0.9657	1.0355
45°	0.7071	0.7071	1	1
46°	0.7193	0.6947	1.0355	0.9657
47°	0.7314	0.682	1.0724	0.9325
48°	0.7431	0.6691	1.1106	0.9004
49°	0.7547	0.6561	1.1504	0.8693
50°	0.766	0.6428	1.1918	0.8391
51°	0.7771	0.6293	1.2349	0.8098
52°	0.788	0.6157	1.2799	0.7813
53°	0.7986	0.6018	1.327	0.7536
54°	0.809	0.5878	1.3764	0.7265
55°	0.8192	0.5736	1.4281	0.7002
56°	0.829	0.5592	1.4826	0.6745
57°	0.8387	0.5446	1.5399	0.6494
58°	0.848	0.5299	1.6003	0.6249
59°	0.8572	0.515	1.6643	0.6009
60°	0.866	0.5	1.7321	0.5774
61°	0.8746	0.4848	1.804	0.5543
62°	0.8829	0.4695	1.8807	0.5317
63°	0.891	0.454	1.9626	0.5095
64°	0.8988	0.4384	2.0503	0.4877
65°	0.9063	0.4226	2.1445	0.4663
66°	0.9135	0.4067	2.246	0.4452
67°	0.9205	0.3907	2.3559	0.4245
68°	0.9272	0.3746	2.4751	0.404
69°	0.9336	0.3584	2.6051	0.3839
70°	0.9397	0.342	2.7475	0.364
71°	0.9455	0.3256	2.9042	0.3443
72°	0.9511	0.309	3.0777	0.3249
73°	0.9563	0.2924	3.2709	0.3057
74°	0.9613	0.2756	3.4874	0.2867
75°	0.9659	0.2588	3.7321	0.2679
76°	0.9703	0.2419	4.0108	0.2493
77°	0.9744	0.225	4.3315	0.2309
78°	0.9781	0.2079	4.7046	0.2126
79°	0.9816	0.1908	5.1446	0.1944
80°	0.9848	0.1736	5.6713	0.1763
81°	0.9877	0.1564	6.3138	0.1584
82°	0.9903	0.1392	7.1154	0.1405
83°	0.9925	0.1219	8.1443	0.1228
84°	0.9945	0.1045	9.5144	0.1051
85°	0.9962	0.0872	11.4301	0.0875
86°	0.9976	0.0698	14.3007	0.0699
87°	0.9986	0.0523	19.0811	0.0524
88°	0.9994	0.0349	28.6363	0.0349
89°	0.9998	0.0175	57.29	0.0175
90°	1	0	nie istnieje	0

Tab. 2.

Wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych z przybliżeniem do 4 miejsc po przecinku.

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Sinus

Cosinus

Tangens

Cotangens

Uwaga

Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów ostrych

Uwaga

Jedynka trygonometryczna

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Dodatkowe tożsamości trygonometryczne

Tablica przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych