Pojęcia uogólnionego kąta skierowanego oraz miary łukowej pozwalają nam zdefiniować funkcje trygonometryczne dla dowolnej liczby rzeczywistej α ∈ R \alpha\in\mathbb{R} α ∈ R \alpha\in\mathbb{R} α \alpha α \alpha
Niech w układzie współrzędnych będzie dany uogólniony kąt skierowany o mierze α ∈ R \alpha\in\mathbb{R} α ∈ R \alpha\in\mathbb{R} P = ( x , y ) P=\left(x,y\right) P = ( x , y ) P=\left(x,y\right) O = ( 0 , 0 ) O=(0,0) O = ( 0 , 0 ) O=(0,0)
sin α = y x 2 + y 2 cos α = x x 2 + y 2 sin α = y x ( x ≠ 0 ) sin α = x y ( y ≠ 0 ) \begin{aligned}
\sin\alpha&= \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \\
\cos\alpha&= \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\
\sin\alpha&= \frac{y}{x}&\quad(x\neq 0) \\
\sin\alpha&= \frac{x}{y}&\quad (y\neq 0) \\
\end{aligned} sin α cos α sin α sin α = x 2 + y 2 y = x 2 + y 2 x = x y = y x ( x = 0 ) ( y = 0 ) \begin{aligned}
\sin\alpha&= \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \\
\cos\alpha&= \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\
\sin\alpha&= \frac{y}{x}&\quad(x\neq 0) \\
\sin\alpha&= \frac{x}{y}&\quad (y\neq 0) \\
\end{aligned} (0)
Dla dowolnego m ∈ R m\in\mathbb{R} m ∈ R m\in\mathbb{R}
Dla α ∈ R \alpha\in\mathbb{R} α ∈ R \alpha\in\mathbb{R}
sin ( m ⋅ 2 π + α ) = sin α \sin(m \cdot 2\pi+\alpha)=\sin\alpha sin ( m ⋅ 2 π + α ) = sin α \sin(m \cdot 2\pi+\alpha)=\sin\alpha (0)
Dla α ∈ R \alpha\in\mathbb{R} α ∈ R \alpha\in\mathbb{R}
cos ( m ⋅ 2 π + α ) = cos α \cos(m \cdot 2\pi+\alpha)=\cos\alpha cos ( m ⋅ 2 π + α ) = cos α \cos(m \cdot 2\pi+\alpha)=\cos\alpha (0)
Dla α ∈ R ∖ { x : x = π 2 + k π , k ∈ Z } \displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\} α ∈ R ∖ { x : x = 2 π + kπ , k ∈ Z } \displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}
tg ( m ⋅ 2 π + α ) = tg α \tg(m \cdot 2\pi+\alpha)=\tg\alpha tg ( m ⋅ 2 π + α ) = tg α \tg(m \cdot 2\pi+\alpha)=\tg\alpha (0)
Dla α ∈ R ∖ { x : x = k π , k ∈ Z } \displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\} α ∈ R ∖ { x : x = kπ , k ∈ Z } \displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}
ctg ( m ⋅ 2 π + α ) = ctg α \ctg(m \cdot 2\pi+\alpha)=\ctg\alpha ctg ( m ⋅ 2 π + α ) = ctg α \ctg(m \cdot 2\pi+\alpha)=\ctg\alpha (0) Innymi słowy,
Funkcje sinus, tangens i cotangens są funkcjami nieparzystymi, natomiast funkcja cosinus jest funkcją parzysta i zachodzą następujące równości:
Dla α ∈ R \alpha\in\mathbb{R} α ∈ R \alpha\in\mathbb{R}
sin ( − α ) = − sin α \sin(-\alpha)=-\sin\alpha sin ( − α ) = − sin α \sin(-\alpha)=-\sin\alpha (0)
Dla α ∈ R \alpha\in\mathbb{R} α ∈ R \alpha\in\mathbb{R}
cos ( − α ) = cos α \cos(-\alpha)=\cos\alpha cos ( − α ) = cos α \cos(-\alpha)=\cos\alpha (0)
Dla α ∈ R ∖ { x : x = π 2 + k π , k ∈ Z } \displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\} α ∈ R ∖ { x : x = 2 π + kπ , k ∈ Z } \displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}
tg ( − α ) = − tg α \tg(-\alpha)=-\tg\alpha tg ( − α ) = − tg α \tg(-\alpha)=-\tg\alpha (0)
Dla α ∈ R ∖ { x : x = k π , k ∈ Z } \displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\} α ∈ R ∖ { x : x = kπ , k ∈ Z } \displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}
ctg ( − α ) = − ctg α \ctg(-\alpha)=-\ctg\alpha ctg ( − α ) = − ctg α \ctg(-\alpha)=-\ctg\alpha (0) Zachodzą następujące zależności pomiędzy wartościami funkcji trygonometrycznych:
Dla dowolnego α ∈ R \alpha\in\mathbb{R} α ∈ R \alpha\in\mathbb{R} jedynka trygonometryczna)
sin 2 α + cos 2 α = 1 \begin{aligned}
\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1
\end{aligned} sin 2 α + cos 2 α = 1 \begin{aligned}
\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1
\end{aligned} (0)
Dla dowolnego α ∈ R ∖ { x : x = π 2 + k π , k ∈ Z } \displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\} α ∈ R ∖ { x : x = 2 π + kπ , k ∈ Z } \displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}
tg α = sin α cos α \displaystyle \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} tg α = cos α sin α \displaystyle \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} (0)
Dla dowolnego α ∈ R ∖ { x : x = k π , k ∈ Z } \displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\} α ∈ R ∖ { x : x = kπ , k ∈ Z } \displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}
ctg α = cos α sin α \displaystyle \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} ctg α = sin α cos α \displaystyle \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} (0)
Dla dowolnego α ∈ R ∖ { x : x = k π 2 , k ∈ Z } \displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{k\pi}{2}, k\in\mathbb{Z} \right\} α ∈ R ∖ { x : x = 2 kπ , k ∈ Z } \displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{k\pi}{2}, k\in\mathbb{Z} \right\}
tg α ⋅ ctg α = 1 \tg\alpha \cdot \ctg\alpha=1 tg α ⋅ ctg α = 1 \tg\alpha \cdot \ctg\alpha=1 (0) Dla dowolnych x , y ∈ R x,y\in\mathbb{R} x , y ∈ R x,y\in\mathbb{R}
sin ( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y sin ( x − y ) = sin x cos y − cos x sin y cos ( x + y ) = cos x cos y − sin x sin y cos ( x − y ) = cos x cos y + sin x sin y \sin(x+y)=\sin x\cos y + \cos x \sin y\\
\sin(x-y)=\sin x\cos y - \cos x \sin y\\
\cos(x+y)=\cos x\cos y - \sin x \sin y\\
\cos(x-y)=\cos x \cos y + \sin x \sin y
sin ( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y sin ( x − y ) = sin x cos y − cos x sin y cos ( x + y ) = cos x cos y − sin x sin y cos ( x − y ) = cos x cos y + sin x sin y \sin(x+y)=\sin x\cos y + \cos x \sin y\\
\sin(x-y)=\sin x\cos y - \cos x \sin y\\
\cos(x+y)=\cos x\cos y - \sin x \sin y\\
\cos(x-y)=\cos x \cos y + \sin x \sin y
(0) Dodatkowo:
Dla α , β , α + β , α − β ∈ R ∖ { x : x = π 2 + k π , k ∈ Z } \displaystyle \alpha,\beta,\alpha+\beta,\alpha-\beta\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z} \right\} α , β , α + β , α − β ∈ R ∖ { x : x = 2 π + kπ , k ∈ Z } \displaystyle \alpha,\beta,\alpha+\beta,\alpha-\beta\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z} \right\}
tg ( x + y ) = tg x + tg y 1 − tg x tg y tg ( x − y ) = tg x − tg y 1 + tg x tg y \tg(x+y)=\frac{\tg x + \tg y}{1-\tg x\tg y}\\
\tg(x-y)=\frac{\tg x - \tg y}{1+\tg x \tg y}\\
tg ( x + y ) = 1 − tg x tg y tg x + tg y tg ( x − y ) = 1 + tg x tg y tg x − tg y \tg(x+y)=\frac{\tg x + \tg y}{1-\tg x\tg y}\\
\tg(x-y)=\frac{\tg x - \tg y}{1+\tg x \tg y}\\
(0) Dla α , β , α + β , α − β ∈ R ∖ { x : x = k π 2 , k ∈ Z } \displaystyle \alpha,\beta,\alpha+\beta,\alpha-\beta\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{k\pi}{2},k\in\mathbb{Z} \right\} α , β , α + β , α − β ∈ R ∖ { x : x = 2 kπ , k ∈ Z } \displaystyle \alpha,\beta,\alpha+\beta,\alpha-\beta\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{k\pi}{2},k\in\mathbb{Z} \right\}
ctg ( x + y ) = ctg x ⋅ ctg y − 1 ctg y + ctg x ctg ( x − y ) = ctg x ⋅ ctg y + 1 ctg y − ctg x \ctg(x+y)=\frac{\ctg x\cdot \ctg y - 1}{\ctg y+\ctg x}\\
\ctg(x-y)=\frac{\ctg x\cdot \ctg y + 1}{\ctg y - \ctg x} ctg ( x + y ) = ctg y + ctg x ctg x ⋅ ctg y − 1 ctg ( x − y ) = ctg y − ctg x ctg x ⋅ ctg y + 1 \ctg(x+y)=\frac{\ctg x\cdot \ctg y - 1}{\ctg y+\ctg x}\\
\ctg(x-y)=\frac{\ctg x\cdot \ctg y + 1}{\ctg y - \ctg x} (0)
Zachodzą następujące własności funkcji trygonometrycznych podwojonego kąta:
Dla dowolnego x ∈ R x\in\mathbb{R} x ∈ R x\in\mathbb{R}
cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 2 cos 2 x − 1 = 1 − 2 sin 2 x \begin{aligned}
\cos2x&=\cos^2x - \sin^2x\\
&=2\cos^2x-1\\
&=1-2\sin^2x
\end{aligned} cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 2 cos 2 x − 1 = 1 − 2 sin 2 x \begin{aligned}
\cos2x&=\cos^2x - \sin^2x\\
&=2\cos^2x-1\\
&=1-2\sin^2x
\end{aligned} (0)
Dla dowolnego x ∈ R ∖ { x : x = k π 4 , k ∈ Z ∖ { 0 } } \displaystyle x\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{k\pi}{4},k\in\mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\} \right\} x ∈ R ∖ { x : x = 4 kπ , k ∈ Z ∖ { 0 } } \displaystyle x\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{k\pi}{4},k\in\mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\} \right\}
tg 2 x = 2 tg x 1 − tg 2 x = 2 ctg x − tg x \tg2x=\frac{2\tg x}{1-\tg^2 x}= \frac{2}{\ctg x-\tg x}
tg 2 x = 1 − tg 2 x 2 tg x = ctg x − tg x 2 \tg2x=\frac{2\tg x}{1-\tg^2 x}= \frac{2}{\ctg x-\tg x}
(0)
Dla dowolnego x ∈ R ∖ { x : x = k π 4 , k ∈ Z ∖ { 0 } } \displaystyle x\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{k\pi}{4},k\in\mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\} \right\} x ∈ R ∖ { x : x = 4 kπ , k ∈ Z ∖ { 0 } } \displaystyle x\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{k\pi}{4},k\in\mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\} \right\}
ctg 2 x = ctg x − tg x 2 = ctg 2 x − 1 2 ctg x \ctg2x=\frac{\ctg x - \tg x}{2}=\frac{\ctg^2x-1}{2\ctg x} ctg 2 x = 2 ctg x − tg x = 2 ctg x ctg 2 x − 1 \ctg2x=\frac{\ctg x - \tg x}{2}=\frac{\ctg^2x-1}{2\ctg x} (0) sin 3 x = − 4 sin 3 x + 3 sin x cos 3 x = 4 cos 3 x − 3 cos x tg 3 x = 3 tg x − tg 3 x 1 − 3 tg 2 x ctg 3 x = ctg 3 x − 3 ctg x 3 ctg 2 x − 1 \begin{aligned} &\sin{3 x }=-4\sin^3{ x }+3\sin{ x }\\ &\cos{3 x }=4 \cos^3{ x }-3\cos{ x }\\ &\text{tg}{3 x }=\frac{3\ \text{tg}{ x }-\text{tg}^3{ x }}{1-3\ \text{tg}^2{ x }}\\ &\text{ctg}{3 x }=\frac{\text{ctg}^3{ x }-3\ \text{ctg}{ x }}{3\ \text{ctg}^2{ x }-1} \end{aligned} sin 3 x = − 4 sin 3 x + 3 sin x cos 3 x = 4 cos 3 x − 3 cos x tg 3 x = 1 − 3 tg 2 x 3 tg x − tg 3 x ctg 3 x = 3 ctg 2 x − 1 ctg 3 x − 3 ctg x \begin{aligned} &\sin{3 x }=-4\sin^3{ x }+3\sin{ x }\\ &\cos{3 x }=4 \cos^3{ x }-3\cos{ x }\\ &\text{tg}{3 x }=\frac{3\ \text{tg}{ x }-\text{tg}^3{ x }}{1-3\ \text{tg}^2{ x }}\\ &\text{ctg}{3 x }=\frac{\text{ctg}^3{ x }-3\ \text{ctg}{ x }}{3\ \text{ctg}^2{ x }-1} \end{aligned} (0) sin 3 α = sin ( α + 2 α ) = sin α cos 2 α + sin 2 α cos α = sin α ( 1 − 2 sin 2 α ) + 2 sin α cos α cos α = sin α − 2 sin 3 α + 2 sin α ( 1 − sin 2 α ) = sin α − 2 sin 3 α + 2 sin α − 2 sin 3 α = 3 sin α − 4 sin 3 α \begin{aligned}
\sin3\alpha&=\sin\left(\alpha+2\alpha\right)\\
&=\sin\alpha\cos2\alpha+\sin2\alpha\cos\alpha\\
&=\sin\alpha(1-2\sin^2\alpha)+2\sin\alpha\cos\alpha\cos\alpha\\
&=\sin\alpha -2\sin^3\alpha+2\sin\alpha(1-\sin^2\alpha)\\
&=\sin\alpha -2\sin^3\alpha+2\sin\alpha-2\sin^3\alpha\\
&=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha
\end{aligned} sin 3 α = sin ( α + 2 α ) = sin α cos 2 α + sin 2 α cos α = sin α ( 1 − 2 sin 2 α ) + 2 sin α cos α cos α = sin α − 2 sin 3 α + 2 sin α ( 1 − sin 2 α ) = sin α − 2 sin 3 α + 2 sin α − 2 sin 3 α = 3 sin α − 4 sin 3 α \begin{aligned}
\sin3\alpha&=\sin\left(\alpha+2\alpha\right)\\
&=\sin\alpha\cos2\alpha+\sin2\alpha\cos\alpha\\
&=\sin\alpha(1-2\sin^2\alpha)+2\sin\alpha\cos\alpha\cos\alpha\\
&=\sin\alpha -2\sin^3\alpha+2\sin\alpha(1-\sin^2\alpha)\\
&=\sin\alpha -2\sin^3\alpha+2\sin\alpha-2\sin^3\alpha\\
&=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha
\end{aligned} (0) Dla dowolnego x , y ∈ R x,y\in\mathbb{R} x , y ∈ R x,y\in\mathbb{R}
sin x + sin y = 2 ⋅ sin x + y 2 ⋅ cos x − y 2 sin x − sin y = 2 ⋅ sin x − y 2 ⋅ cos x + y 2 cos x + cos y = 2 ⋅ cos x + y 2 ⋅ cos x − y 2 cos x − cos y = − 2 ⋅ sin x + y 2 ⋅ cos x − y 2 tg x + tg y = sin ( x + y ) cos x cos y tg x − tg y = sin ( x − y ) cos x cos y ctg x + ctg y = sin ( y + x ) sin x sin y ctg x − ctg y = sin ( y − x ) sin x sin y \begin{aligned}
\sin x+\sin y&=2 \cdot \sin \frac{x+y}{2} \cdot \cos \frac{x-y}{2}\\
\sin x-\sin y&=2 \cdot \sin \frac{x-y}{2} \cdot \cos \frac{x+y}{2}\\
\cos x+\cos y&=2 \cdot \cos \frac{x+y}{2} \cdot \cos \frac{x-y}{2}\\
\cos x-\cos y&=-2 \cdot \sin \frac{x+y}{2} \cdot \cos \frac{x-y}{2}\\
\tg{x}+\tg{y}&=\frac{\sin{\left(x+y\right )}}{\cos{x}\cos{y}}\\
\tg{x}-\tg{y}&=\frac{\sin{\left (x-y\right )}}{\cos{x}\cos{y}}\\
\ctg{x}+\ctg{y}&=\frac{\sin{\left (y+x\right)}}{\sin{x}\sin{y}}\\ \ctg{x}-\ctg{y}&=\frac{\sin{\left(y-x\right )}}{\sin{x}\sin{y}}
\end{aligned} sin x + sin y sin x − sin y cos x + cos y cos x − cos y tg x + tg y tg x − tg y ctg x + ctg y ctg x − ctg y = 2 ⋅ sin 2 x + y ⋅ cos 2 x − y = 2 ⋅ sin 2 x − y ⋅ cos 2 x + y = 2 ⋅ cos 2 x + y ⋅ cos 2 x − y = − 2 ⋅ sin 2 x + y ⋅ cos 2 x − y = cos x cos y sin ( x + y ) = cos x cos y sin ( x − y ) = sin x sin y sin ( y + x ) = sin x sin y sin ( y − x ) \begin{aligned}
\sin x+\sin y&=2 \cdot \sin \frac{x+y}{2} \cdot \cos \frac{x-y}{2}\\
\sin x-\sin y&=2 \cdot \sin \frac{x-y}{2} \cdot \cos \frac{x+y}{2}\\
\cos x+\cos y&=2 \cdot \cos \frac{x+y}{2} \cdot \cos \frac{x-y}{2}\\
\cos x-\cos y&=-2 \cdot \sin \frac{x+y}{2} \cdot \cos \frac{x-y}{2}\\
\tg{x}+\tg{y}&=\frac{\sin{\left(x+y\right )}}{\cos{x}\cos{y}}\\
\tg{x}-\tg{y}&=\frac{\sin{\left (x-y\right )}}{\cos{x}\cos{y}}\\
\ctg{x}+\ctg{y}&=\frac{\sin{\left (y+x\right)}}{\sin{x}\sin{y}}\\ \ctg{x}-\ctg{y}&=\frac{\sin{\left(y-x\right )}}{\sin{x}\sin{y}}
\end{aligned} (0)
