Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej

Niech w układzie współrzędnych będzie dany uogólniony kąt skierowany o mierze $\alpha\in\mathbb{R}$\alpha\in\mathbb{R} oraz niech $P=\left(x,y\right)$P=\left(x,y\right) będzie dowolnym punktem na ramieniu końcowym tego kąta, różnym od punktu $O=(0,0)$O=(0,0). Wówczas:

Dla dowolnego $m\in\mathbb{R}$m\in\mathbb{R} zachodzą następujące wzory redukcyjne:

1. Dla $\alpha\in\mathbb{R}$\alpha\in\mathbb{R} :

   $$\sin(m \cdot 2\pi+\alpha)=\sin\alpha$$

   \sin(m \cdot 2\pi+\alpha)=\sin\alpha(0)

2. Dla $\alpha\in\mathbb{R}$\alpha\in\mathbb{R}:

   $$\cos(m \cdot 2\pi+\alpha)=\cos\alpha$$

   \cos(m \cdot 2\pi+\alpha)=\cos\alpha(0)

3. Dla $\displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}$\displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}:

   $$\tg(m \cdot 2\pi+\alpha)=\tg\alpha$$

   \tg(m \cdot 2\pi+\alpha)=\tg\alpha(0)

4. Dla $\displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}$\displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}:

   $$\ctg(m \cdot 2\pi+\alpha)=\ctg\alpha$$

   \ctg(m \cdot 2\pi+\alpha)=\ctg\alpha(0)

Funkcje sinus, tangens i cotangens są funkcjami nieparzystymi, natomiast funkcja cosinus jest funkcją parzysta i zachodzą następujące równości:

• Dla $\alpha\in\mathbb{R}$\alpha\in\mathbb{R}:

  $$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$$

  \sin(-\alpha)=-\sin\alpha(0)

• Dla $\alpha\in\mathbb{R}$\alpha\in\mathbb{R}:

  $$\cos(-\alpha)=\cos\alpha$$

  \cos(-\alpha)=\cos\alpha(0)

• Dla $\displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}$\displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}

  $$\tg(-\alpha)=-\tg\alpha$$

  \tg(-\alpha)=-\tg\alpha(0)

• Dla $\displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}$\displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}:

  $$\ctg(-\alpha)=-\ctg\alpha$$

  \ctg(-\alpha)=-\ctg\alpha(0)

Funkcje trygonometryczne są funkcjami okresowymi oraz:

• okres zasadniczy funkcji $\tg x$\tg x i $\ctg x$\ctg x jest równy $\pi$\pi.

• okres podstawowy funkcji $\sin x$\sin xi $\cos x$\cos x jest równy $2\pi$2\pi.
  

Zachodzą następujące zależności pomiędzy wartościami funkcji trygonometrycznych:

1. Dla dowolnego $\alpha\in\mathbb{R}$\alpha\in\mathbb{R} (jedynka trygonometryczna)

   $$\begin{aligned} \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \end{aligned}$$

   \begin{aligned} \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \end{aligned}(0)

2. Dla dowolnego $\displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}$\displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}:

   $$\displaystyle \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$

   \displaystyle \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(0)

3. Dla dowolnego $\displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}$\displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}:

   $$\displaystyle \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$$

   \displaystyle \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}(0)

4. Dla dowolnego $\displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{k\pi}{2}, k\in\mathbb{Z} \right\}$\displaystyle \alpha\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{k\pi}{2}, k\in\mathbb{Z} \right\}

   $$\tg\alpha \cdot \ctg\alpha=1$$

   \tg\alpha \cdot \ctg\alpha=1(0)

Dla dowolnych $x,y\in\mathbb{R}$x,y\in\mathbb{R} zachodzą następujące równości:

Dodatkowo:

• Dla $\displaystyle \alpha,\beta,\alpha+\beta,\alpha-\beta\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z} \right\}$\displaystyle \alpha,\beta,\alpha+\beta,\alpha-\beta\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z} \right\}:

• Dla $\displaystyle \alpha,\beta,\alpha+\beta,\alpha-\beta\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{k\pi}{2},k\in\mathbb{Z} \right\}$\displaystyle \alpha,\beta,\alpha+\beta,\alpha-\beta\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{k\pi}{2},k\in\mathbb{Z} \right\}:

  $$\ctg(x+y)=\frac{\ctg x\cdot \ctg y - 1}{\ctg y+\ctg x}\\ \ctg(x-y)=\frac{\ctg x\cdot \ctg y + 1}{\ctg y - \ctg x}$$

  \ctg(x+y)=\frac{\ctg x\cdot \ctg y - 1}{\ctg y+\ctg x}\\ \ctg(x-y)=\frac{\ctg x\cdot \ctg y + 1}{\ctg y - \ctg x}(0)

Zachodzą następujące własności funkcji trygonometrycznych podwojonego kąta:

• Dla dowolnego $x\in\mathbb{R}$x\in\mathbb{R} zachodzą następujące równości:

  $$\begin{align*} \sin2x&=2\sin x\cos x\\ \end{align*}$$

  \begin{align*} \sin2x&=2\sin x\cos x\\ \end{align*}(0)

• Dla dowolnego $x\in\mathbb{R}$x\in\mathbb{R}:

  $$\begin{aligned} \cos2x&=\cos^2x - \sin^2x\\ &=2\cos^2x-1\\ &=1-2\sin^2x \end{aligned}$$

  \begin{aligned} \cos2x&=\cos^2x - \sin^2x\\ &=2\cos^2x-1\\ &=1-2\sin^2x \end{aligned}(0)

• Dla dowolnego $\displaystyle x\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{k\pi}{4},k\in\mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\} \right\}$\displaystyle x\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{k\pi}{4},k\in\mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\} \right\}:

  $$\tg2x=\frac{2\tg x}{1-\tg^2 x}= \frac{2}{\ctg x-\tg x}$$

  \tg2x=\frac{2\tg x}{1-\tg^2 x}= \frac{2}{\ctg x-\tg x} (0)

• Dla dowolnego $\displaystyle x\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{k\pi}{4},k\in\mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\} \right\}$\displaystyle x\in\mathbb{R}\setminus\left\{x:x= \frac{k\pi}{4},k\in\mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\} \right\}:

  $$\ctg2x=\frac{\ctg x - \tg x}{2}=\frac{\ctg^2x-1}{2\ctg x}$$

  \ctg2x=\frac{\ctg x - \tg x}{2}=\frac{\ctg^2x-1}{2\ctg x}(0)

Dla dowolnego $x,y\in\mathbb{R}$x,y\in\mathbb{R}:

Rozważmy funkcje trygonometryczne $\sin,\cos,\tg$\sin,\cos,\tg i $\ctg$\ctg w układzie współrzędnych. Wówczas:

• w pierwszej ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie

• w drugiej ćwiartce dodatni jest tylko sinus

• w trzeciej ćwiartce dodatnie są tangens i cotangens

• w czwartej ćwiartce dodatni jest tylko cosinus