Granica funkcji

Otoczeniem $U(x_0,\varepsilon)$U(x_0,\varepsilon) punktu $x_0$x_0 o promieniu $\varepsilon>0$\varepsilon>0 nazywamy przedział otwarty $(x_0-\varepsilon, x_0+\varepsilon)$(x_0-\varepsilon, x_0+\varepsilon) o środku w punkcie $x_0$x_0. Przedział $(x_0-\varepsilon,x_0]$(x_0-\varepsilon,x_0] nazywamy otoczeniem lewostronnym punktu $x_0$x_0, a przedział $[x_0,x_0+\varepsilon)$[x_0,x_0+\varepsilon) - otoczeniem prawostronnym.

Punkt $x_0$x_0 nazywamy punktem skupienia zbioru liczbowego $X$X, jeżeli w dowolnym otoczeniu punktu $x_0$x_0 znajduje się nieskończenie wiele liczb ze zbioru $X$X.

Sąsiedztwem punktu $x_0$x_0 o promieniu $\varepsilon>0$\varepsilon>0 nazywamy jego otoczenie, z wyłączeniem jego samego:

Przedział $(x_0-\varepsilon, x_0)$(x_0-\varepsilon, x_0) nazywamy sąsiedztwem lewostronnym, a przedział $(x_0, x_0+\varepsilon)$ (x_0, x_0+\varepsilon) - sąsiedztwem prawostronnym.

Mówimy, że liczba $g\in\mathbb{R}$g\in\mathbb{R} jest granicą funkcji $f$f w punkcie $x_0$x_0 co zapisujemy:

jeżeli dla każdego ciągu $(x_n)$(x_n) zbieżnego do $x_0$x_0 (tj. $\lim_{n\to\infty}x_n=x_0$\lim_{n\to\infty}x_n=x_0), o wyrazach należących do otoczenia punktu $x_0$x_0, ciąg $(f(x_n))$(f(x_n)) jest zbieżny to $g$g.

Zapis $\lim$\lim w definicji granicy pochodzi od łacińskiego słowa limes oznaczającego granica.

Granice wybranych funkcji w nieskończoności możemy z łatwością wyznaczyć dostrzegając zachowanie funkcji dla kolejnych argumentów :

• $\displaystyle \lim_{x\to\infty}4x=\infty$\displaystyle \lim_{x\to\infty}4x=\infty oraz $\displaystyle \lim_{x\to \infty}(-4x)=-\infty$\displaystyle \lim_{x\to \infty}(-4x)=-\infty

  $$\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|cl} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 &\to \infty\\ \hline 4x & 4 & 8 & 12 & 16 & 20 &\to \infty\\ \hline -4x & -4 & -8 & -12 & -16 & -20 &\to \infty\\ \end{array}$$

  \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|cl} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 &\to \infty\\ \hline 4x & 4 & 8 & 12 & 16 & 20 &\to \infty\\ \hline -4x & -4 & -8 & -12 & -16 & -20 &\to \infty\\ \end{array}(0)

• $\displaystyle \lim_{x\to\infty }\frac{4}{x}=0$\displaystyle \lim_{x\to\infty }\frac{4}{x}=0 oraz $\displaystyle \lim_{x\to\infty }\left(-\frac{4}{x}\right)=0$\displaystyle \lim_{x\to\infty }\left(-\frac{4}{x}\right)=0

  $$\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \to \infty\\ \hline \frac{4}{x} & 4 & 2 & \frac{4}{3} & 1 & \frac{4}{5} \to 0\\ \hline -\frac{4}{x} &-4 & - 2 & -\frac{4}{3} & -1 & -\frac{4}{5} \to 0\\ \end{array}$$

  \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \to \infty\\ \hline \frac{4}{x} & 4 & 2 & \frac{4}{3} & 1 & \frac{4}{5} \to 0\\ \hline -\frac{4}{x} &-4 & - 2 & -\frac{4}{3} & -1 & -\frac{4}{5} \to 0\\ \end{array}(0)

Granice wybranych funkcji w nieskończoności możemy z łatwością wyznaczyć dostrzegając zachowanie funkcji dla kolejnych argumentów :

• $\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \left(\frac{1}{2}x\right)=-\infty$\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \left(\frac{1}{2}x\right)=-\infty oraz $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\left(- \frac{1}{2} x\right)=\infty$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\left(- \frac{1}{2} x\right)=\infty

  $$\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|cl} x & -1 & -2 & -3 & -4 & -5 &\to -\infty\\ \hline \frac{1}{2} x & -\frac{1}{2} & -1 & - 1\frac{1}{2} & -2 & -2 \frac{1}{2} &\to -\infty\\ \hline -\frac{1}{2} x & \frac{1}{2} & 1 & 1\frac{1}{2} & 2 & 2 \frac{1}{2} &\to \infty\\ \end{array}$$

  \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|cl} x & -1 & -2 & -3 & -4 & -5 &\to -\infty\\ \hline \frac{1}{2} x & -\frac{1}{2} & -1 & - 1\frac{1}{2} & -2 & -2 \frac{1}{2} &\to -\infty\\ \hline -\frac{1}{2} x & \frac{1}{2} & 1 & 1\frac{1}{2} & 2 & 2 \frac{1}{2} &\to \infty\\ \end{array}(0)

• $\displaystyle \lim_{x\to-\infty }\frac{1}{x^2}=0$\displaystyle \lim_{x\to-\infty }\frac{1}{x^2}=0 oraz $\displaystyle \lim_{x\to-\infty }\left(-\frac{1}{x^2}\right)=0$\displaystyle \lim_{x\to-\infty }\left(-\frac{1}{x^2}\right)=0

  $$\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -1 & -2 & -3 & -4 & -5 \to -\infty\\ \hline \frac{1}{x^2} & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{9} & \frac{1}{16} & \frac{1}{25} \to 0\\ \hline -\frac{1}{x^2} & -1 & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{9} & -\frac{1}{16} & - \frac{1}{25} \to 0\\ \end{array}$$

  \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -1 & -2 & -3 & -4 & -5 \to -\infty\\ \hline \frac{1}{x^2} & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{9} & \frac{1}{16} & \frac{1}{25} \to 0\\ \hline -\frac{1}{x^2} & -1 & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{9} & -\frac{1}{16} & - \frac{1}{25} \to 0\\ \end{array}(0)

Niech dana będzie funkcja $f$f określona w pewnym sąsiedztwie $S(x_0,\varepsilon)$S(x_0,\varepsilon). Wówczas:

• jeżeli funkcja $f$f jest stała w zbiorze $S(x_0,\varepsilon)$S(x_0,\varepsilon), tj. $f(x)=c$f(x)=c dla $x\in S(x_0,\varepsilon)$x\in S(x_0,\varepsilon), $c\in\mathbb{R}$c\in\mathbb{R}, to istnieje granica funkcji $f$f w punkcie $x_0$x_0 oraz $\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=c$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=c.

• jeżeli dla $x\in S(x_0,\varepsilon)$x\in S(x_0,\varepsilon) zachodzi $f(x)=x$f(x)=x, to istnieje granica funkcji $f$f w punkcie $x_0$x_0 oraz $\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=x_0$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=x_0.

Jeżeli $\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=g>0$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=g>0, to $\displaystyle \lim_{x\to x_0}\sqrt{f(x)}=\sqrt{g}$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\sqrt{f(x)}=\sqrt{g}.

Liczbę $g$g nazywamy granicą lewostronną (odpowiednio: prawostronną) funkcji $f(x)$f(x) w punkcie $x_0$x_0, co zapisujemy:

jeżeli dla każdego ciągu $(x_n)$(x_n) takiego, że dla dowolnego $n\in\mathbb{N}$n\in\mathbb{N}, $x_n<x_0$x_n<x_0 (odpowiednio: $x_n>x_0$x_n>x_0), tj. $x_n\in S_{-}(x_0,\varepsilon)$x_n\in S_{-}(x_0,\varepsilon) (odpowiednio: $x_n\in S_{+}(x_0,\varepsilon)$x_n\in S_{+}(x_0,\varepsilon)) oraz $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=x_0$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=x_0, ciąg $(f(x_n))$(f(x_n)) jest zbieżny do $g$g , tj.

Granica $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) funkcji $f$f określonej w pewnym sąsiedztwie $S(x_0,\varepsilon)$S(x_0,\varepsilon) istnieje i jest równa $g$g wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją granice jednostronne $\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)$\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x) oraz $\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)$\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x) oraz są one równe $g$g.

Jeżeli $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=a$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=a oraz $\displaystyle\lim_{x\to x_0}g(x)=b$\displaystyle\lim_{x\to x_0}g(x)=b, gdzie $a,b,\in\mathbb{R}$a,b,\in\mathbb{R}, to:

• $\displaystyle\lim_{x\to x_0}(c\cdot f(x))=c\cdot \lim_{x\to x_0} f(x)=c\cdot a,\quad \text{ gdzie } c\in\mathbb{R}$\displaystyle\lim_{x\to x_0}(c\cdot f(x))=c\cdot \lim_{x\to x_0} f(x)=c\cdot a,\quad \text{ gdzie } c\in\mathbb{R}

• $\displaystyle\lim_{x\to x_0}(f(x)+g(x))=\lim_{x\to x_0}f(x) + \lim_{x\to x_0}g(x)=a+b$\displaystyle\lim_{x\to x_0}(f(x)+g(x))=\lim_{x\to x_0}f(x) + \lim_{x\to x_0}g(x)=a+b

• $\displaystyle\lim_{x\to x_0}(f(x)-g(x))=\lim_{x\to x_0}f(x) -\lim_{x\to x_0}g(x)=a-b$\displaystyle\lim_{x\to x_0}(f(x)-g(x))=\lim_{x\to x_0}f(x) -\lim_{x\to x_0}g(x)=a-b

• $\displaystyle\lim_{x\to x_0}(f(x)\cdot g(x))=\lim_{x\to x_0}f(x) \cdot\lim_{x\to x_0}g(x)=a\cdot b$\displaystyle\lim_{x\to x_0}(f(x)\cdot g(x))=\lim_{x\to x_0}f(x) \cdot\lim_{x\to x_0}g(x)=a\cdot b

• $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to x_0}g(x)} =\frac{a}{b},\quad \text{ gdzie } b\neq0$\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to x_0}g(x)} =\frac{a}{b},\quad \text{ gdzie } b\neq0

Nie dane będą trzy funkcje $f,g,h$f,g,h określone w pewnym sąsiedztwie $S(x_0,\varepsilon)$S(x_0,\varepsilon). Jeżeli dla dowolnego $x\in S(x_0,\varepsilon)$x\in S(x_0,\varepsilon) zachodzi nierówność $f(x)\le g(x)\le h(x)$f(x)\le g(x)\le h(x) oraz $\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=\lim _{x\to x_0}h(x)=c\in\mathbb{R}$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=\lim _{x\to x_0}h(x)=c\in\mathbb{R}, to $\displaystyle \lim_{x\to x_0}g=c$\displaystyle \lim_{x\to x_0}g=c

Mówimy, że funkcja $f$f określona w pewnym sąsiedztwie $S(x_0,\varepsilon)$S(x_0,\varepsilon) ma w punkcie $x_0$x_0 granicę niewłaściwą $\pm \infty$\pm \infty, jeżeli dla każdego ciągu $(x_n)$(x_n) o wyrazach należących do sąsiedztwa $S(x_0,\varepsilon)$S(x_0,\varepsilon) zbieżnego do $x_0$x_0, ciąg $(f(x_n))$(f(x_n)) jest rozbieżny do $\pm \infty$\pm \infty, tj. $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} f(x_n)=\pm\infty$\displaystyle \lim_{n\to +\infty} f(x_n)=\pm\infty.

Mówimy, że funkcja $f$f ma w punkcie $x_0$x_0 granicę niewłaściwą lewostronną (odpowiednio: lewostronną) $\pm \infty$\pm \infty, jeżeli dla każdego ciągu $(x_n)$(x_n) takiego, że dla dowolnego $n\in\mathbb{N}$n\in\mathbb{N}, $x_n<x_0$x_n<x_0 (odpowiednio: $x_n>x_0$x_n>x_0) oraz $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=x_0$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=x_0, ciąg $(f(x_n))$(f(x_n)) jest rozbieżny do $\pm \infty$\pm \infty.

Dla dowolnego wielomianu $W$W oraz $x_0\in\mathbb{R}$x_0\in\mathbb{R} zachodzi równość

Niech dana będzie funkcja wymierna $\displaystyle y= \frac{P(x)}{Q(x)}$\displaystyle y= \frac{P(x)}{Q(x)} gdzie $Q(x)\neq 0$Q(x)\neq 0. Wówczas dla dowolnego $x_0\in\mathbb{R}$x_0\in\mathbb{R} zachodzi równość:

Niech dane będą funkcje $f$f i $g$g określone w pewnym sąsiedztwie $S(x_0,\varepsilon)$S(x_0,\varepsilon) punktu $x_0$x_0 oraz niech $\lim_{x\to x_0}f(x)=c\in\mathbb{R}$\lim_{x\to x_0}f(x)=c\in\mathbb{R} i $\displaystyle \lim_{x\to x_0}g(x)=\pm\infty$\displaystyle \lim_{x\to x_0}g(x)=\pm\infty. Wówczas:

• $\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to x_0}\left[f(x)+g(x)\right]=\pm\infty$\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to x_0}\left[f(x)+g(x)\right]=\pm\infty

• $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\left[f(x)-g(x)\right]=\mp\infty$\displaystyle\lim_{x\to x_0}\left[f(x)-g(x)\right]=\mp\infty

• jeżeli $c>0$c>0 to $\displaystyle \lim_{x\to x_0}\left[f(x)\cdot g(x)\right]=\pm\infty$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\left[f(x)\cdot g(x)\right]=\pm\infty

• jeżeli $c<0$c<0 to $\displaystyle \lim_{x\to x_0}\left[f(x)\cdot g(x)\right]=\mp\infty$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\left[f(x)\cdot g(x)\right]=\mp\infty

Powyższe własności są również prawdziwe dla granic jednostronnych oraz granic w plus/minus nieskończoności.

• Jeżeli $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=0^+$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=0^+ oraz $\displaystyle\lim_{x\to x_0}g(x)=a>0$\displaystyle\lim_{x\to x_0}g(x)=a>0 to

  $$\lim_{x\to x_0}\frac{g(x)}{f(x)}=\infty$$

  \lim_{x\to x_0}\frac{g(x)}{f(x)}=\infty(0)

• Jeżeli $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=0^+$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=0^+ oraz $\displaystyle\lim_{x\to x_0}g(x)=a<0$\displaystyle\lim_{x\to x_0}g(x)=a<0 to

  $$\lim_{x\to x_0}\frac{g(x)}{f(x)}=-\infty$$

  \lim_{x\to x_0}\frac{g(x)}{f(x)}=-\infty(0)

• Jeżeli $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=0^-$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=0^- oraz $\displaystyle\lim_{x\to x_0}g(x)=a>0$\displaystyle\lim_{x\to x_0}g(x)=a>0 to

  $$\lim_{x\to x_0}\frac{g(x)}{f(x)}=-\infty$$

  \lim_{x\to x_0}\frac{g(x)}{f(x)}=-\infty(0)

• Jeżeli $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=0^-$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=0^- oraz $\displaystyle\lim_{x\to x_0}g(x)=a<0$\displaystyle\lim_{x\to x_0}g(x)=a<0 to

  $$\lim_{x\to x_0}\frac{g(x)}{f(x)}=\infty$$

  \lim_{x\to x_0}\frac{g(x)}{f(x)}=\infty(0)

Mówimy, że liczba $g\in\mathbb{R}$g\in\mathbb{R} jest granicą funkcji $f$f w $\pm \infty$\pm \infty:

jeżeli dla każdego ciągu $(x_n)$(x_n) rozbieżnego do $\pm\infty$\pm\infty, o wyrazach należących do dziedziny funkcji $f$f (tj. przedziału $\left(a,+\infty\right)$\left(a,+\infty\right) lub $\left(-\infty,a\right)$\left(-\infty,a\right)), ciąg $(f(x_n)$(f(x_n) jest zbieżny do $g$g, tj. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x_n)=g$\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x_n)=g

Innymi słowy, granica funkcji w plus (minus) nieskończoności to wartość do której dąży ta funkcja gdy argumenty funkcji dążą do plus (minus) nieskończoności.

Jeżeli $\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=a$\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=a oraz $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=b$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=b, gdzie $a,b,\in\mathbb{R}$a,b,\in\mathbb{R}, to:

• $\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}(c\cdot f(x))=c\cdot \lim_{x\to \pm\infty} f(x)=c\cdot a,\quad \text{ gdzie } c\in\mathbb{R}$\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}(c\cdot f(x))=c\cdot \lim_{x\to \pm\infty} f(x)=c\cdot a,\quad \text{ gdzie } c\in\mathbb{R}

• $\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}(f(x)+g(x))=\lim_{x\to \pm\infty}f(x) + \lim_{x\to \pm\infty}g(x)=a+b$\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}(f(x)+g(x))=\lim_{x\to \pm\infty}f(x) + \lim_{x\to \pm\infty}g(x)=a+b

• $\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}(f(x)-g(x))=\lim_{x\to \pm\infty}f(x) -\lim_{x\to \pm\infty}g(x)=a-b$\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}(f(x)-g(x))=\lim_{x\to \pm\infty}f(x) -\lim_{x\to \pm\infty}g(x)=a-b

• $\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}(f(x)\cdot g(x))=\lim_{x\to \pm\infty}f(x) \cdot\lim_{x\to \pm\infty}g(x)=a\cdot b$\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}(f(x)\cdot g(x))=\lim_{x\to \pm\infty}f(x) \cdot\lim_{x\to \pm\infty}g(x)=a\cdot b

• $\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}g(x)} =\frac{a}{b},\quad \text{ gdzie } b\neq0$\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}g(x)} =\frac{a}{b},\quad \text{ gdzie } b\neq0

Jeżeli $\lim_{x\to+\infty }f(x)=g>0$\lim_{x\to+\infty }f(x)=g>0, to $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\sqrt{g}$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\sqrt{g}.

Jeżeli funkcja $f$f jest ciągła w punkcie $x_0$x_0, to ma tym punkcie granicę równą $f(x_0)$f(x_0).