logo

Iloczyn skalarny wektorów

Definicja 1

Iloczynem skalarnym wektorów u⃗=[ux,uy]\vec{u}=[u_x, u_y] oraz v⃗=[vx,vy]\vec{v}=[v_x, v_y] nazywamy liczbę:

u⃗∘v⃗=uxvx+uyvy\vec{u}\circ \vec{v}=u_xv_x+u_yv_y
(0)

Równoważnie możemy zapisać:

u⃗∘v⃗=∣u⃗∣⋅∣v⃗∣⋅cos⁡α\vec{u}\circ\vec{v}=|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|\cdot \cos \alpha
(0)

Zauważ, że gdy α=0∘\alpha=0^\circ , to u⃗∘v⃗=0\vec{u}\circ \vec{v}=0, bo cos⁡90∘=0\cos90^\circ =0.

Twierdzenie 1

Dwa wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy 00.

u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗∘v⃗=0\vec{u}\perp\vec{v}\iff \vec{u}\circ\vec{v}=0
(0)

Przykład 1

Przekształcając wzór na iloczyn skalarny otrzymujemy wzór na kąt między wektorami:

Twierdzenie 2

Dwa wektory tworzą kąt α\alpha taki że

cos⁡α=u⃗∘v⃗∣u⃗∣⋅∣v⃗∣\begin{aligned} \cos \alpha&=\frac{\vec{u}\circ \vec{v}}{|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|} \end{aligned}
(0)

Przykład 2