Kombinacja

Kombinacją $k$k-elementową bez powtórzeń $n-$n-elementowego zbioru $A$A nazywamy dowolny $k-$k-elementowy ($k\le n$k\le n) podzbiór zbioru $A$A utworzony z różnych elementów zbioru $A$A.

Liczba $k-$k-elementowych kombinacji zbioru $n-$n-elementowego $(k\le n)$(k\le n) wyraża się wzorem:

gdzie $k,n\in\mathbb{N}$k,n\in\mathbb{N}.

Symbolem Newtona nazywamy funkcję dwóch argumentów $n,k\in\mathbb{N}$n,k\in\mathbb{N} daną wzorem:

Symbol $\binom{n}{k}$\binom{n}{k} czytamy: “$n$n po $k$k” lub “$k$k z $n$n”.

Zachodzą następującego własności:

• Dla dowolnego $n\in\mathbb{N}$n\in\mathbb{N}:

  $$\binom{n}{0}=1,\quad\binom{n}{n}=1$$

  \binom{n}{0}=1,\quad\binom{n}{n}=1(0)

• Dla dowolnych $n,k\in\mathbb{N}$n,k\in\mathbb{N}, $k\le n$k\le n:

  $$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$$

  \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}(0)

• Dla dowolnych $n,k\in\mathbb{N}$n,k\in\mathbb{N}, $k\le n-1$k\le n-1:

  $$\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$$

  \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}(0)

• $2-$2-elementowe kombinacje zbioru $3-$3-elementowego $\left\{a,b,c\right\}$\left\{a,b,c\right\}:

  $$\left\{a,b\right\}\\ \left\{a,c\right\}\\ \left\{b,c\right\}$$

  \left\{a,b\right\}\\ \left\{a,c\right\}\\ \left\{b,c\right\}(0)
  $$C_3^2=\binom{3}{2}= \frac{3!}{2!\left(3-2\right)!}= 3$$

  C_3^2=\binom{3}{2}= \frac{3!}{2!\left(3-2\right)!}= 3 (0)

• $3-$3-elementowe kombinacje zbioru $4-$4-elementowego: $\left\{a,b,c,d\right\}$\left\{a,b,c,d\right\}

  $$\left\{a,b,c\right\}\\ \left\{a,b,d\right\}\\ \left\{a,c,d\right\}\\ \left\{b,c,d\right\}$$

  \left\{a,b,c\right\}\\ \left\{a,b,d\right\}\\ \left\{a,c,d\right\}\\ \left\{b,c,d\right\}(0)
  $$C_4^3=\binom{4}{3}= 4$$

  C_4^3=\binom{4}{3}= 4 (0)