Liczby wymierne

Liczbą wymierną nazywamy liczbę którą można zapisać w postaci ułamka zwykłego (tj. ilorazu dwóch liczb całkowitych):

gdzie $p\in\mathbb{Z}$p\in\mathbb{Z} oraz $q\in\mathbb{Z}/\{0\}$q\in\mathbb{Z}/\{0\}.
Zbiór liczb wymiernych oznaczamy symbolem $\mathbb{Q}$\mathbb{Q} i możemy zapisać:

Przykładami liczb wymiernych są:

• $\displaystyle\frac{3}{7}$\displaystyle\frac{3}{7} ($p=3,q=7$p=3,q=7)

• $5$5, ponieważ $5=\displaystyle\frac{5}{1}$5=\displaystyle\frac{5}{1} ($p=5, q=1$p=5, q=1)

• $-10$-10, ponieważ $-10=\displaystyle\frac{-10}{1}$-10=\displaystyle\frac{-10}{1} ($p=-10,q=1$p=-10,q=1)

• $2\displaystyle\frac{3}{7}$2\displaystyle\frac{3}{7}, ponieważ $2\displaystyle\frac{3}{7}=\frac{17}{7}$2\displaystyle\frac{3}{7}=\frac{17}{7} $(p=17,q=7)$(p=17,q=7) - ułamek niewłaściwy

• $3,14$3,14, ponieważ $3,14=\displaystyle\frac{314}{100}$3,14=\displaystyle\frac{314}{100} $(p=314, q=100)$(p=314, q=100).

• $1,3333\ldots=0,(3)$1,3333\ldots=0,(3) ponieważ $1,(3)=\displaystyle1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$1,(3)=\displaystyle1\frac{1}{3}=\frac{4}{3} $(p=4, q=3)$(p=4, q=3)

• $\displaystyle \sqrt{81}=9$\displaystyle \sqrt{81}=9

• $\displaystyle \sqrt[3]{ \frac{27}{125} }= \frac{3}{5}$\displaystyle \sqrt[3]{ \frac{27}{125} }= \frac{3}{5}

Każda liczba całkowita (a zatem i naturalna) jest liczbą wymierną, tj. zbiór liczb całkowitych (oraz naturalnych) zawiera się w zbiorze liczb wymiernych, $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}. Odwrotne stwierdzenie oczywiście nie jest prawdziwe - nie każda liczba wymierna jest liczbą całkowitą!