Niech dana będzie funkcja kwadratowa f(x)=ax^2+bx+c oraz niech \Delta będzie jej wyróżnikiem. Wówczas:
Jeżeli \Delta>0, to funkcja ma dokładnie dwa miejsca zerowe dane wzorami:
\begin{align*} x_1&= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\ x_2&= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \end{align*}(0)Jeżeli \Delta=0, to funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe dane wzorem:
x_1=x_2=-\frac{b}{2a}(0)Jeżeli \Delta < 0, to funkcja nie ma miejsc zerowych.
Postacią iloczynową funkcji kwadratowej nazywamy wyrażenie postaci
gdzie x_1,x_2 to miejsca zerowe funkcji f (tj. gdy \Delta >0) oraz wyrażenie postaci
gdy x_0 to jedyne miejsce zerowe (pierwiastek podwójny) funkcji f (\Delta=0).
Rozkładem funkcji na czynniki liniowe nazywamy proces zamiany postaci ogólnej funkcji kwadratowej na postać iloczynową.
Naturalnie, postać iloczynowa funkcji kwadratowej istnieje jedynie wtedy, gdy funkcja posiada miejsce zerowe, czyli gdy \Delta \ge0.
Postacie: ogólna, kanoniczna i iloczynowa funkcji kwadratowej są sobie równoważne, czyli opisują tę samą funkcję kwadratową, z tym że pozwalają nam dostrzec poszczególne własności tej funkcji bez dokonywania dodatkowych obliczeń. Z tego powodu pracując z funkcjami kwadratowymi, przydatna jest umiejętność zamiany jednej z postaci tej funkcji na inna:
kanoniczna → ogólna: pozbywamy się nawiasu wykonując potęgowanie i uproszczamy wyrażenie
kanoniczna → iloczynowa: najpierw zamieniamy na ogólną, a następnie szukamy miejsc zerowych
iloczynowa → ogólna: mnożymy przez siebie nawiasy i upraszczamy
iloczynowa → kanoniczna:
najpierw na ogólną i z niej wyznaczamy współrzędne wierzchołka, lub
liczymy współrzędna x-ową wierzchołka ze wzoru (bo wierzchołek leży dokładnie pomiędzy miejscami zerowymi):
\displaystyle p= \frac{x_1+x_2}{2} (0)a współrzędna y-ową wyznaczamy licząc wartość funkcji w punkcie p.