Monotoniczność funkcji

Funkcja $f: X\rightarrow \mathbb{R}$f: X\rightarrow \mathbb{R} jest rosnąca, jeśli dla dowolnych dwóch argumentów $x_1,x_2\in X$x_1,x_2\in X zachodzi:

Funkcja $f:X\rightarrow \mathbb{R}$f:X\rightarrow \mathbb{R} jest malejąca, jeśli dla dowolnych dwóch argumentów $x_1,x_2\in X$x_1,x_2\in X zachodzi:

Funkcja $f:X\rightarrow \mathbb{R}$f:X\rightarrow \mathbb{R} jest stała, jeśli dla dowolnych dwóch argumentów $x_1,x_2\in X$x_1,x_2\in X zachodzi

Funkcja $f:X\rightarrow \mathbb{R}$f:X\rightarrow \mathbb{R} jest niemalejąca, jeśli dla dowolnych dwóch argumentów $x_1,x_2\in X$x_1,x_2\in X zachodzi:

Funkcja $f:X\rightarrow \mathbb{R}$f:X\rightarrow \mathbb{R} jest nierosnąca, jeśli dla dowolnych dwóch argumentów $x_1,x_2\in X$x_1,x_2\in X zachodzi:

Mówimy, że funkcja jest monotoniczna, jeśli jest rosnąca, malejąca, niemalejąca, nierosnąca lub stała. W innym wypadku funkcję nazywamy niemonotoniczną.

Zauważ, że aby funkcja była monotoniczna, musi spełniać warunki monotoniczności w całej swojej dziedzinie. Jeżeli funkcja jest rosnąca \ malejąca \ nierosnąca \ niemalejąca \ stała jedynie na wybranych przedziałach swojej dziedziny, to mówimy o funkcji przedziałami monotonicznej.

Mówimy, że funkcja jest przedziałami monotoniczna, jeśli jej dziedzinę można podzielić na rozłączne przedziały w taki sposób, że w każdym z nich funkcja jest monotoniczna. Mówimy wtedy że funkcja jest rosnąca/malejąca/nierosnąca/niemalejąca/stała w zbiorze.

Zauważ, że funkcja stała jest jednocześnie niemalejąca i nierosnąca, funkcja rosnąca jest jednocześnie niemalejąca, a funkcja malejąca jest jednocześnie nierosnąca.