Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

Z własności funkcji kwadratowej $f(x)=ax^2+bx+c$f(x)=ax^2+bx+c wiemy, że w zależności od współczynnika $a$a funkcja może nie przyjmować wartości najmniejszej ($a<0$a<0) lub największej ($a>0$a>0) w zbiorze liczb rzeczywistych.

Sytuacja ma się zgoła inaczej jeśli ograniczymy dziedzinę tej funkcji do dowolnego przedziału domkniętego $[l,r]$[l,r] - wówczas funkcja zawsze przyjmuje zarówno wartość najmniejszą, jak i największą. Aby znaleźć te wartości, należy:

• policzyć wartości funkcji na krańcach przedziału, tj. $f(l)$f(l) oraz $f(r)$f(r).

• wyznaczyć współrzędną $x-$x-ową $p$p wierzchołka $W=(p,q)$W=(p,q) paraboli będącej wykresem tej funkcji:

  • jeżeli $p$p należy do przedziału $[l,r]$[l,r], to najpierw należy policzyć wartość funkcji w tym punkcie, a następnie znaleźć szukane wartości wyznaczając wartość najmniejszą i największą funkcji spośród liczb: $f(l),f(r)$f(l),f(r) oraz $f(p)=q$f(p)=q,

  • jeżeli $p$p nie należy do przedziału $[l,r]$[l,r] to aby znaleźć szukane wartości wystarczy wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji spośród liczb: $f(l)$f(l) oraz $f(r)$f(r).