Nierówność kwadratowa

Definicja 1

Nierówność kwadratowa

Nierównością kwadratową (drugiego stopnia) z niewiadomą $x$ x nazywamy nierówność przyjmującą jedną z postaci:

\begin{aligned} ax^2+bx+c&<0,\\ ax^2+bx+c&>0,\\ ax^2+bx+c&\le0,\\ ax^2+bx+c&\ge0, \end{aligned}

(0)

gdzie $a,b,c\in\mathbb{R}$ a,b,c\in\mathbb{R}, oraz $a\neq0$ a\neq0.

Rozwiązywanie nierówności kwadratowych sprowadza się do:

wyznaczenia miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f(x)=ax^2+bx+c=0$ f(x)=ax^2+bx+c=0 (o ile istnieją),
narysowania wykresu funkcji $f(x)$ f(x) w układzie współrzędnych,
odczytania z wykresu rozwiązania nierówności poprzez sprawdzenie dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie / ujemne / nieujemne / niedodatnie (zgodnie ze znakiem nierówności)

Rozwiązaniem nierówności kwadratowych może być liczba, przedział liczbowy, suma przedziałów liczbowych, cały zbiór liczb rzeczywistych (nierówność tożsamościowa) bądź nierówność może w ogóle nie mieć rozwiązania (nierówność sprzeczna).

Powyższe rozważania formalnie możemy zebrać w poniższym twierdzeniu.

Twierdzenie 1

O rozwiązaniu nierówności kwadratowej

Niech $a,b,c\in\mathbb{R}$ a,b,c\in\mathbb{R}, $a\neq0$ a\neq0 i niech $\Delta$ \Delta będzie . Wówczas, rozwiązania nierówności kwadratowej

ax^2+b+c\ \square\ 0,\quad\text{gdzie }\square\in\left\{<,>,\le,\ge\right\}

(0)

można opisać w zależności od znaku $a$ a, rodzaju nierówności oraz wartości $\Delta$ \Delta w następujący sposób (korzystając z ):

$\Delta>0$ \Delta>0 (dwa pierwiastki rzeczywiste $x_1<x_2$ x_1<x_2)

$a$ a	Rodaj nierówności	Rozwiązanie
$>0$ >0	$>$ >	$x\in(-\infty,x_1)\cup (x_2,\infty)$ x\in(-\infty,x_1)\cup (x_2,\infty)
$>0$ >0	$\ge$ \ge	$x\in(-\infty,x_1]\cup [x_2,\infty)$ x\in(-\infty,x_1]\cup [x_2,\infty)
$>0$ >0	$<$ <	$x\in(x_1,x_2)$ x\in(x_1,x_2)
$>0$ >0	$\le$ \le	$x\in[x_1,x_2]$ x\in[x_1,x_2]
$<0$ <0	$>$ >	$x\in(x_1,x_2)$ x\in(x_1,x_2)
$<0$ <0	$\ge$ \ge	$x\in[x_1,x_2]$ x\in[x_1,x_2]
$<0$ <0	$<$ <	$x\in(-\infty,x_1)\cup (x_2,\infty)$ x\in(-\infty,x_1)\cup (x_2,\infty)
$<0$ <0	$\le$ \le	$x\in(-\infty,x_1]\cup [x_2,\infty)$ x\in(-\infty,x_1]\cup [x_2,\infty)

$\Delta=0$ \Delta=0 (jeden pierwiastek rzeczywisty $x_0$ x_0)

$a$ a	Rodaj nierówności	Rozwiązanie
$>0$ >0	$>$ >	$x\in\mathbb{R}\setminus\{x_0\}$ x\in\mathbb{R}\setminus\{x_0\}
$>0$ >0	$\ge$ \ge	$x\in\mathbb{R}$ x\in\mathbb{R}
$>0$ >0	$<$ <	$x\in\emptyset$ x\in\emptyset
$>0$ >0	$\le$ \le	$x\in\{x_0\}$ x\in\{x_0\}
$<0$ <0	$>$ >	$x\in\emptyset$ x\in\emptyset
$<0$ <0	$\ge$ \ge	$x\in\{x_0\}$ x\in\{x_0\}
$<0$ <0	$<$ <	$x\in\mathbb{R}\setminus\{x_0\}$ x\in\mathbb{R}\setminus\{x_0\}
$<0$ <0	$\le$ \le	$x\in\mathbb{R}$ x\in\mathbb{R}

$\Delta<0$ \Delta<0 (brak pierwiastków rzeczywistych)

$a$ a	Rodaj nierówności	Rozwiązanie
$>0$ >0	$>$ >	$x\in\mathbb{R}$ x\in\mathbb{R}
$>0$ >0	$\ge$ \ge	$x\in\mathbb{R}$ x\in\mathbb{R}
$>0$ >0	$<$ <	$x\in\emptyset$ x\in\emptyset
$>0$ >0	$\le$ \le	$x\in\emptyset$ x\in\emptyset
$<0$ <0	$>$ >	$x\in\emptyset$ x\in\emptyset
$<0$ <0	$\ge$ \ge	$x\in\emptyset$ x\in\emptyset
$<0$ <0	$<$ <	$x\in\mathbb{R}$ x\in\mathbb{R}
$<0$ <0	$\le$ \le	$x\in\mathbb{R}$ x\in\mathbb{R}