Nierówność liniowa

Definicja 1

Nierówność liniowa z jedną niewiadomą

Nierównością liniową z jedną niewiadomą $x$ x nazywamy nierówność przyjmującą jedną z następujących postaci:

\begin{aligned} ax+b&>0\\ ax+b&< 0\\ ax+b&\ge 0\\ ax+b&\le 0\\ \end{aligned}

(0)

gdzie $a,b\in\mathbb{R}$ a,b\in\mathbb{R}, a $x$ x to niewiadoma występująca w pierwszej potędze. Jeżeli $a\neq 0$ a\neq 0 to nierówność nazywamy nierównością pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.
Jeśli w nierówności występuje znak $<$ < lub $>$ >, to mówimy o nierówności ostrej, natomiast jeśli w nierówności występuje znak $\le$ \le lub $\ge$ \ge, to mówimy o nierówności nieostrej.

Uwaga 1

Równoważność nierówności

Jeśli obie strony nierówności pomnożymy bądź podzielimy przez dowolną liczbę dodatnią ( $d$ d), to otrzymamy nierówność równoważną.

\begin{align*} ax+b<c&\iff d(ax+b)<dc\\ ax+b<c&\iff \frac{ax+b}{d}<\frac{c}{d} \end{align*}

(0)

Jeśli obie strony nierówności pomnożymy bądź podzielimy przez tę samą liczbę ujemną $(-d)$ (-d), to zmieniając zwrot nierówności na przeciwny otrzymamy nierówność równoważną.

\begin{align*} ax+b<c&\iff -d(ax+b)>-dc\\ ax+b<c&\iff \frac{ax+b}{-d}>\frac{c}{-d} \end{align*}

(0)

Zauważ, że mnożenie przez $-1$ -1 to nic innego niż przeniesienie lewej strony nierówności na prawą stronę, a prawej na lewą.

Mówimy, że dana liczba spełnia nierówność, jeżeli po podstawieniu jej w miejsce niewiadomej, otrzymujemy nierówność prawdziwą. Rozwiązanie nierówności polega na znalezieniu wszystkich liczb (przedziału liczb) które spełniają tę nierówność. O ile w przypadku równań liniowych najczęściej istniało dokładni jedno rozwiązanie, tak w przypadku nierówności ich rozwiązaniem jest najczęściej przedział liczbowy.

Przykład 1

Nierówności

Niech dana będzie nierówność:

\frac{1}{3}x-\sqrt{2}<\frac{x-4}{\sqrt{2}}

(0)

Mnożąc obustronnie przez $\sqrt{2}$ \sqrt{2} otrzymujemy:

\frac{\sqrt{2}}{3}x-2<x-4

(0)

Przenosząc wyrażenia z $x$ x na lewą stronę a pozostałe wyrażenia na prawą mamy:

\left(\frac{\sqrt{2}}{3}-1\right)x<-2

(0)

Dzieląc obustronnie przez $\displaystyle\left(\frac{\sqrt{2}}{3}-1\right)$ \displaystyle\left(\frac{\sqrt{2}}{3}-1\right) otrzymujemy:

x>\frac{-2}{\left(\frac{\sqrt{2}}{3}-1\right)}

(0)

gdzie po drodze zmieniliśmy znak nierówności ponieważ $\left(\frac{\sqrt{2}}{3}-1\right)<0$ \left(\frac{\sqrt{2}}{3}-1\right)<0.
Możemy jeszcze uprościć wyrażenie po prawej stronie:

\begin{align*} \frac{-2}{\left(\frac{\sqrt{2}}{3}-1\right)}&=\frac{2}{\left(1-\frac{\sqrt{2}}{3}\right)}\\&=\frac{2}{\left(\frac{3-\sqrt{2}}{3}\right)}\\&=\frac{6}{3-\sqrt{2}}\\&=\frac{6(3+\sqrt{2})}{7}\\&=\frac{18+6\sqrt{2}}{7} \end{align*}

(0)

Zatem rozwiązaniem nierówności jest przedział:

x\in\left(\frac{18+6\sqrt{2}}{7},\infty\right)

(0)

Każda prosta dzieli płaszczyznę na dwie części: