logo

Nierówność wykładnicza

Definicja 1

Nierównością wykładniczą nazywamy nierówność w które niewiadoma xx występuje wyłącznie w wykładniku potęgi.

Nierówności wykładnicze rozwiązujemy wykorzystując monotoniczność funkcji wykładniczej. Nierówność wykładniczą rozwiązujemy najpierw sprowadzając obie strony nierówności do postaci potęgi o tej samej podstawie:

aL(x)<aP(x)a^{L(x)}<a^{P(x)}
(0)

gdzie L(x)L(x) i P(x)P(x) to funkcje zmiennej xx, a następnie porównując wykładniki tych potęg, przy czym:

  • jeżeli a>1a>1, to nie zmieniamy znaku:

    L(x)<P(x)L(x)<P(x)
    (0)
  • jeżeli a(0,1)a\in\left(0,1\right), to znak nierówności zmieniamy na przeciwny

    L(x)>P(x)L(x)>P(x)
    (0)

Powyższe zależności wynikają z własności logarytmu logaax=x\log_a a^x = x oraz monotoniczności funkcji wykładniczej.

Definicja
Nierówność wykładnicza