Okrąg wpisany w trójkąt

Okrąg wpisany w trójkąt to okrąg, który jest styczny do wszystkich boków trójkąta (środek okręgu jest równo oddalony od boków trójkąta).

Zamiast mówić że okrąg został wpisany w trójkąt, możemy powiedzieć, że trójkąt został opisany na okręgu.

• dwusieczne kątów wewnętrznych w trójkącie przecinają się w jednym punkcie będącym środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt

• długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt to odległość środka okręgu od dowolnego boku tego trójkąta,

• długość $r$r promienia okręgu wpisanego w trójkąt o bokach długości $a,b,c$a,b,c dany jest wzorem:

  $$\begin{aligned} \displaystyle r&=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}\\ \end{aligned}$$

  \begin{aligned} \displaystyle r&=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}\\ \end{aligned}(0)

  lub

  $$r= \frac{2P}{a+b+c}$$

  r= \frac{2P}{a+b+c} (0)

  gdzie $P$P to pole trójkąta, a $p$p to połowa obwodu tego trójkąta:

  $$p=\frac{a+b+c}{2}$$

  p=\frac{a+b+c}{2}(0)

• pole trójkąta o obwodzie $a+b+c$a+b+c opisanego na okręgu o promieniu długości $r$r wynosi:

  $$P=\frac{a+b+c}{2}\cdot r$$

  P=\frac{a+b+c}{2}\cdot r(0)

Środek okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny leży na wysokości poprowadzonej na podstawę.

Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny wyraża się wzorem:

Dodatkowo, dwusieczne kątów zawierają wysokości tego trójkąta zatem środek okręgu jest również punktem przecięcia się tych wysokości.

Długość $r$r promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $a$a i $b$b oraz przyprostokątnej długości $c$c dany jest wzorem: