Okrąg wpisany w trójkąt

Definicja 1

Okrąg wpisany w trójkąt

Okrąg wpisany w trójkąt to okrąg, który jest styczny do wszystkich boków trójkąta (środek okręgu jest równo oddalony od boków trójkąta).

Uwaga 1

Nazewnictwo

Zamiast mówić że okrąg został wpisany w trójkąt, możemy powiedzieć, że trójkąt został opisany na okręgu.

Twierdzenie 1

O okręgu wpisanym w trójkąt

Dwusieczne kątów wewnętrznych w trójkącie przecinają się w jednym punkcie będącym środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Dodatkowo, długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt jest równa odległości środka okręgu od dowolnego boku tego trójkąta.

Twierdzenie 2

O promieniu okręgu wpisanego w trójkąt

Długość $r$ r promienia okręgu wpisanego w trójkąt o bokach długości $a,b,c$ a,b,c dany jest wzorem:

\begin{aligned} \displaystyle r&=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}\\ \end{aligned}

(0)

lub

r= \frac{2P}{a+b+c} ,

(0)

lub

r= \frac{P}{p}

(0)

gdzie $P$ P to pole trójkąta, a $p$ p to połowa obwodu tego trójkąta:

p=\frac{a+b+c}{2}

(0)

Twierdzenie 3

O polu trójkąta opisanego na okręgu

Pole trójkąta o obwodzie $a+b+c$ a+b+c opisanego na okręgu o promieniu długości $r$ r wynosi:

P=\frac{a+b+c}{2}\cdot r

(0)

Twierdzenie 4

O okręgu wpisanym w trójkąt równoramienny

Środek okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny leży na wysokości poprowadzonej na podstawę.

Twierdzenie 5

O okręgu wpisanym w trójkąt równoboczny

Środkiem okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest punkt przecięcia się jego wysokości, a promień tego okręgu jest równy jednej trzeciej wysokości trójkąta:

r= \frac{1}{3}h= \frac{a\sqrt{3}}{6}

(0)

Twierdzenie 6

O okręgu wpisanym w trójkąt prostokątny

Długość $r$ r promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $a$ a i $b$ b oraz przyprostokątnej długości $c$ c dany jest wzorem:

r=\frac{a+b-c}{2}

(0)