Wyróżniamy kilka możliwych wzajemnych położeń dwóch okręgów.
Mówimy że dwa okręgi są rozłączne jeżeli nie mają punktów wspólnych, przy czym jeśli jeden z okręgów zawiera się w kole wyznaczonym przez drugi z tych okręgów to mówimy że okręgi są rozłączne wewnętrznie, a w przeciwnym wypadku że są rozłączne zewnętrznie.
Niech dane będą dwa okręgi o(O_r,r) oraz o(O_R,R). Wówczas:
okręgi te są rozłączne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy |O_rO_R|<|R-r|
okręgi te są rozłączne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy |O_rO_R|>r+R.
Mówimy, że dwa okręgi styczne, jeżeli mają dokładnie jeden punkt wspólny, zwany punktem styczności. Jeżeli jeden z okręgów zawiera się w kole wyznaczonym przez drugi z tych okręgów to mówimy że okręgi są styczne wewnętrznie, a w przeciwnym wypadku, że są styczne zewnętrznie.
Niech dane będą dwa okręgi o(O_r,r) oraz o(O_R,R). Wówczas:
okręgi te są styczne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy |O_rO_R|=|R-r|
okręgi te są styczne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy |O_rO_R|=r+R.
Jeżeli okręgi mają dokładnie dwa punkty wspólne, to mówimy że są to okręgi przecinające się.
Dwa okręgi o(O_r,r) oraz o(O_R,R) przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy |R-r|<|O_rO_R|<r+R.
Jeżeli O_r=O_R to mówimy że okręgi są współśrodkowe, a gdy dodatkowo r=R to są to okręgi pokrywające się.
Niech dane będą dwa okręgi styczne o(O_r,r) oraz o(O_R,R). Wówczas prosta przechodząca przez środki tych okręgów przechodzi również przez ich punkt styczności.
W zależności od położenia dwóch okręgów względem siebie, możemy poprowadzić różną liczbę ich wspólnych stycznych:
okręgi są rozłączne wewnętrznie - wówczas styczna mniejszego okręgu jest sieczną większego okręgu, a stąd wniosek że okręgi nie mają wspólnych stycznych.
okręgi są styczne wewnętrznie - istnieje dokładnie jedna wspólna styczna do obu okręgów
okręgi przecinające się - dwie wspólne styczne
okręgi styczne zewnętrznie - trzy wspólne styczne - dwie zewnętrzne i jedna wewnętrzna
okręgi rozłączne zewnętrznie - cztery wspólne styczne - dwie zewnętrzne i dwie wewnętrzne.