Permutacje

Permutacją bez powtórzeń $n-$n-elementowego zbioru $A$A nazywamy dowolny $n-$n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru.

Zauważ, że permutacja zbioru powstaje w wyniku zmiany kolejności elementów w danym zbiorze.

Liczba permutacji zbioru $n-$n-elementowego wynosi:

• Zbiór $2-$2-elementowy: $\left\{a,b\right\}$\left\{a,b\right\}, $P_2=2!=2 \cdot 1=2$P_2=2!=2 \cdot 1=2

  $$ab\quad ba$$

  ab\quad ba(0)

• Zbiór $3-$3-elementowy: $\left\{a,b,c\right\}$\left\{a,b,c\right\}, $P_3=3!=3 \cdot 2 \cdot 1=6$P_3=3!=3 \cdot 2 \cdot 1=6

  $$\begin{array}{cc} abc & bac&cab\\ acb & bca & cba \end{array}$$

  \begin{array}{cc} abc & bac&cab\\ acb & bca & cba \end{array}(0)

• Zbiór $4-$4-elementowy: $\left\{a,b,c,d\right\}$\left\{a,b,c,d\right\}, $P_4=4!=4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=24$P_4=4!=4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=24

  $$\begin{array}{cccc} abcd & bacd & cabd& dabc\\ abdc & badc & cadb&dacb\\ acbd & bcad & cbad &dbac\\ acdb & bcda & cbda & dbca\\ adbd & bdac & cdab & dcab\\ adcb & bdca & cdba & dcba \end{array}$$

  \begin{array}{cccc} abcd & bacd & cabd& dabc\\ abdc & badc & cadb&dacb\\ acbd & bcad & cbad &dbac\\ acdb & bcda & cbda & dbca\\ adbd & bdac & cdab & dcab\\ adcb & bdca & cdba & dcba \end{array}(0)

Silnią nazywamy funkcję $!:\mathbb{N_0}\to\mathbb{N_+}$!:\mathbb{N_0}\to\mathbb{N_+} daną wzorem (dla $n\ge 1$n\ge 1):

Przyjmuje się, że $0!=1$0!=1.

Niech dany będzie zbiór $A=\{a_1,a_2,\ldots,a_k\}$A=\{a_1,a_2,\ldots,a_k\} składający się z $k$k różnych elementów. Permutacją $n-$n-elementową z powtórzeniami, w której każdy z elementów $a_1,a_2,\ldots,a_k$a_1,a_2,\ldots,a_k występuje odpowiednio $n_1,n_2,\ldots,n_k$n_1,n_2,\ldots,n_k razy $(n_1+n+2+\ldots+n_k=n)$(n_1+n+2+\ldots+n_k=n) nazywamy dowolny $n-$n-wyrazowy ciąg w którym każdy element $a_i$a_i powtarza się dokładnie $n_i$n_i razy, $1\le i\le k$1\le i\le k.

Liczba $n-$n-elementowych permutacji zbioru $k-$k-elementowego $(k\le n)$(k\le n) wynosi: