Pierwiastek kwadratowy

Pierwiastkiem kwadratowym (pierwiastkiem drugiego stopnia) z liczby nieujemnej $a$a nazywamy liczbę nieujemną $b$b, która podniesiona do kwadratu daje liczbę $a$a:

Zamiast symbolu $\displaystyle \sqrt[2]{}$\displaystyle \sqrt[2]{} używamy $\sqrt{}$\sqrt{}.

Wyrażenie $\sqrt{4}$\sqrt{4} czytamy: “pierwiastek z czterech”, “pierwiastek kwadratowy z czterech” lub “pierwiastek drugiego stopnia z czterech”.

Zauważ, że dla dowolnego $a\in\mathbb{R}$a\in\mathbb{R}:

Jeżeli $a\ge0$a\ge0, to dodatkowo:

Przykłady pierwiastków kwadratowych:

• $\sqrt{16}=4$\sqrt{16}=4 ponieważ $4^2=16$4^2=16.

• $\sqrt{121}=11$\sqrt{121}=11 ponieważ $11^2=121$11^2=121.

• $\displaystyle\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$\displaystyle\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3} ponieważ $\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}$\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}.

• $\displaystyle \sqrt{1\frac{9}{16}}=\sqrt{ \frac{25}{16}= \frac{5}{4} }$\displaystyle \sqrt{1\frac{9}{16}}=\sqrt{ \frac{25}{16}= \frac{5}{4} }

Wiemy, że $\sqrt{36}=6$\sqrt{36}=6, ponieważ $6^2=36$6^2=36. Z drugiej strony $(-6)^2$(-6)^2 również równa się $36$36, więc czy $-6$-6 też nie powinno być pierwiastkiem z $36$36? Nie, ponieważ w definicji pierwiastka kwadratowego założyliśmy, że wynik pierwiastkowania ma być liczbą nieujemną!

• $\sqrt{a^2}=|a|$\sqrt{a^2}=|a|

• $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$\left(\sqrt{a}\right)^2=a

• $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}=a$\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}=a,

• $\sqrt{a \cdot b}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$\sqrt{a \cdot b}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b},

• $\sqrt{ \frac{a}{b} }= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$\sqrt{ \frac{a}{b} }= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}