Pierwiastkiem sześciennym (pierwiastkiem trzeciego stopnia) z liczby a ∈ R a\in\mathbb{R} a ∈ R a\in\mathbb{R} b ∈ R b\in\mathbb{R} b ∈ R b\in\mathbb{R} a a a a
a 3 = b ⟺ b 3 = a \sqrt[3]a = b \iff b^3=a 3 a = b ⟺ b 3 = a \sqrt[3]a = b \iff b^3=a (0) Zauważmy, że w przeciwieństwie do pierwiastka kwadratowego, liczba podpierwiastkowa może być dowolną liczbą rzeczywistą a nie tylko liczbą nieujemną.
Dla dowolnego a ∈ R a\in\mathbb{R} a ∈ R a\in\mathbb{R}
− a 3 = − a 3 \sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a} 3 − a = − 3 a \sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a} (0) a 3 3 = ( a 3 ) 3 \sqrt[3]{a^3}=\left(\sqrt[3]{a}\right)^3 3 a 3 = ( 3 a ) 3 \sqrt[3]{a^3}=\left(\sqrt[3]{a}\right)^3 (0)
Przykłady pierwiastków sześciennych:
8 27 3 = 2 3 \displaystyle\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3} 3 27 8 = 3 2 \displaystyle\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3} ( 2 3 ) 3 = 8 27 \displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27} ( 3 2 ) 3 = 27 8 \displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}
− 125 3 = − 5 \displaystyle\sqrt[3]{-125}=-5 3 − 125 = − 5 \displaystyle\sqrt[3]{-125}=-5 ( − 5 ) 3 = − 125 (-5)^3=-125 ( − 5 ) 3 = − 125 (-5)^3=-125
3 3 8 3 = 27 8 3 = 3 4 \displaystyle\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{3}{4} 3 3 8 3 = 3 8 27 = 4 3 \displaystyle\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{3}{4}
a 3 3 = a \sqrt[3]{a^3}=a 3 a 3 = a \sqrt[3]{a^3}=a
( a 3 ) 3 = a \left(\sqrt[3]{a}\right)^3=a ( 3 a ) 3 = a \left(\sqrt[3]{a}\right)^3=a
a 3 ⋅ a 3 ⋅ a 3 = a \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a}=a 3 a ⋅ 3 a ⋅ 3 a = a \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a}=a
a ⋅ b 3 = a 3 ⋅ b 3 \sqrt[3]{a \cdot b}=\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} 3 a ⋅ b = 3 a ⋅ 3 b \sqrt[3]{a \cdot b}=\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}
a b 3 = a 3 b 3 \displaystyle \sqrt[3]{ \frac{a}{b} }= \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} 3 b a = 3 b 3 a \displaystyle \sqrt[3]{ \frac{a}{b} }= \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}
