Pierwiastkowanie

Niech $a\in\mathbb{R}$a\in\mathbb{R}. Wówczas pierwiastkiem (arytmetycznym) stopnia $n\in\mathbb{N}$n\in\mathbb{N}, $n>1$n>1, z liczby $a$a nazywamy liczbę $b\in\mathbb{R}$b\in\mathbb{R} która podniesiona do potęgi $n$n daje $a$a, tj.

Dla stopni parzystych $n=2k$n=2k, pierwiastek $\sqrt[n]{a}$\sqrt[n]{a} jest zdefiniowany wyłącznie dla liczb nieujemnych $a\ge0$a\ge0!

Liczbę $a$a nazywamy liczbą podpierwiastkową.

Zauważ, że:

• Pierwiastek stopnia nieparzystego z liczby dodatniej jest liczbą dodatnią.

• Pierwiastek stopnia nieparzystego z liczby ujemnej jest liczbą ujemną.

• Pierwiastek stopnia parzystego jest liczbą dodatnią.

• Pierwiastek stopnia parzystego z liczby ujemnej nie istnieje!

Pierwiastki o stopniu parzystym są zdefiniowane wyłącznie dla liczb nieujemnych, ponieważ nie istnieje liczba która podniesiona do potęgi parzystej jest ujemna.

Z definicji potęgi o wykładniku wymiernych wiemy, że pierwiastek możemy wyrazić za pomocą potęgi:

Przykłady pierwiastków stopnia $n>3$n>3:

• $\sqrt[6]{64}=2$\sqrt[6]{64}=2, ponieważ $2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=64$2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=64.

• $\displaystyle\sqrt[5]{-\frac{243}{1024}}=-\frac{3}{4}$\displaystyle\sqrt[5]{-\frac{243}{1024}}=-\frac{3}{4}, ponieważ $\displaystyle\left(-\frac{3}{4}\right)^5=-\frac{243}{1024}$\displaystyle\left(-\frac{3}{4}\right)^5=-\frac{243}{1024}

• $\sqrt[7]{0,0000001}=0,1$\sqrt[7]{0,0000001}=0,1 ponieważ $(0,1)^7=\left(\frac{1}{10}\right)^7=\frac{1}{10000000}=0,0000001$(0,1)^7=\left(\frac{1}{10}\right)^7=\frac{1}{10000000}=0,0000001.