Ilorazem różnicowym funkcji f określonej w pewnym otoczeniu U(x_0) w punkcie x_0 dla przyrostu x-x_0 nazywamy iloraz postaci:
Różnicę z licznika ilorazu różnicowego nazywamy przyrostem wartości funkcji, a różnicę z mianownika - przyrostem argumentu funkcji.
Jeżeli przez punkty A=(x_0,f(x_0)) oraz B=\left(x,f(x)\right) poprowadzimy prostą, i oznaczymy kąt jaki ta prosta tworzy z osią OX przez \alpha, to okazuje się, że współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy:
Jeżeli zaczniemy zmniejszać odległość pomiędzy x a x_0, tj. przybliżać x do x_0, to prosta przechodząca przez punkty A i B zaczyna przypominać styczną do wykresu funkcji f.
Wreszcie, licząc granicę ilorazu różnicowego:
otrzymamy liczbę będącą współczynnikiem kierunkowym prostej stycznej d wykresu funkcji f a punkcie A - współczynnik ten nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x_0:
Jeżeli dla funkcji f określonej w pewnym otoczeniu U(x_0) punktu x_0 istnieje skończona granica \displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}, to granicę tę nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x_0 i oznaczamy ją f'(x_0).
Jeżeli funkcja ma pochodną w punkcie x_0, to mówimy że funkcja jest różniczkowalna w punkcie x_0.
Jeżeli dla funkcji f określonej w pewnym otoczeniu U_+(x_0) (odpowiednio: U_-(x_0) punktu x_0 istnieje skończona granica \displaystyle\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \left(\text{odpowiednio: }\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right), to granicę tę nazywamy pochodną prawostronną (odpowiednio: lewostronną) funkcji f w punkcie x_0 i oznaczamy ją f'_+(x_0) (odpowiednio: f'_-(x_0)).
Funkcja f określona w otoczeniu punktu x_0 ma pochodną równą p\in\mathbb{R} w tym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją pochodne jednostronne f'_+(x) i f'_-(x) oraz zachodzi równość
Jeżeli funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x_0 i ma w tym punkcie pochodną, to jest w tym punkcie ciągła.
Niech dana będzie funkcja f mająca pochodną w każdym punkcie swojej dziedziny (lub na jej podzbiorze). Funkcją pochodną (lub krótko: pochodną) funkcji f nazywamy funkcję y=f'(x).
O funkcji f mówimy, że jest różniczkowalna.
Funkcja | Pochodna |
f(x)=c | f'(x)=0 |
f(x)=x^c | f'(x)=cx^{c-1} |
f(x)=\sqrt{x} | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
f(x)=\frac{1}{x} | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
f(x)=\sin x | f'(x)=\cos x |
f(x)=\cos x | f'(x)=-\sin x |
f(x)=\tg x | f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x} |
f(x)=\ctg x | f'(x)=-\frac{1}{\sin^2 x} |
f(x)=\ln x | f'(x)=\frac{1}{x} |
f(x)=\log_a x | f'(x)=\frac{1}{x\ln a} |
f(x)=a^x | f'(x)=a^x\ln a |
f(x)=e^x | f'(x)=e^x |
Pochodne wybranych funkcji
Niech dana będzie funkcja f określona w pewnym otoczeniu punktu x_0 oraz różniczkowalna w tym punkcie. Styczna do wykresu funkcji w punkcie \left(x_0,f(x_0)\right) to prosta o równaniu:
Niech dane będą funkcje f i g, różniczkowalne w punkcie x. Wówczas:
Niech dane będą funkcje f:D_f\to\mathbb{R} oraz g:D_g\to\mathbb{R}, gdzie D_g\cap f(D_f)\neq \emptyset. Funkcję g\circ f określona na zbiorze D=\{x\in D_f:f(x)\in D_g\} wzorem:
nazywamy złożeniem funkcji f i g, przy czym g nazywamy funkcją zewnętrzną, a f - funkcją wewnętrzną.
Składanie funkcji nie jest operacją przemienną!
Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x_0, a funkcja g ma pochodną w punkcie f(x_0), to funkcja g\circ f ma pochodną w punkcie x_0 daną wzorem:
Niech dana będzie funkcja f różniczkowalna w przedziale (a,b). Wówczas:
jeżeli funkcja f jest rosnąca w przedziale (a,b), to f'(x)\ge 0 dla każdego x\in(a,b).
jeżeli funkcja f jest malejąca w przedziale (a,b), to f'(x)\le 0 dla każdego x\in(a,b).
Odwrotnie:
Jeżeli f'(x)>0 dla każdego x\in(a,b), to funkcja f jest rosnąca na przedziale (a,b)
Jeżeli f'(x)<0 dla każdego x\in(a,b), to funkcja f jest malejąca na przedziale (a,b)
Jeżeli f'(x)=0, to funkcja f jest stała na przedziale (a,b).
Druga część powyższego twierdzenia (konkretnie dwa pierwsze podpunkty - przypadek f'(x)<0 oraz f'(x)>0) jest również prawdziwa, gdy dla skończonej liczby argumentów pochodna funkcji f wynosi 0. Badanie przebiegu zmienności funkcji
Badanie przebiegu zmienności funkcji to analiza matematyczna, której celem jest zrozumienie, jak dana funkcja zachowuje się w różnych punktach swojego wykresu. Wyniki tej analizy pozwalają na dokładne narysowanie wykresu funkcji i jej opis.
Do najważniejszych etapów tego procesu należą:
Określenie dziedziny funkcji
Znalezienie punktów zerowych.
Znalezienie punktów przecięcia z osią OY
Obliczenie granic na końcach dziedziny.
Wyznaczenie asymptot wykresu funkcji (o ile istnieją)
Wyznaczenie pochodnej funkcji i określenie jej dziedziny
Wyznaczenie przedziałów monotoniczności oraz ekstremów funkcji.
Pochodna funkcji jest funkcją, a pochodna funkcji w punkcie jest liczbą!