MathWizards

Definicja 1

Iloraz różnicowy

Ilorazem różnicowym funkcji $f$ f określonej w pewnym otoczeniu $U(x_0)$ U(x_0) w punkcie $x_0$ x_0 dla przyrostu $x-x_0$ x-x_0 nazywamy iloraz postaci:

\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},

(0)

Różnicę z licznika ilorazu różnicowego nazywamy przyrostem wartości funkcji, a różnicę z mianownika - przyrostem argumentu funkcji.

Jeżeli przez punkty $A=(x_0,f(x_0))$ A=(x_0,f(x_0)) oraz $B=\left(x,f(x)\right)$ B=\left(x,f(x)\right) poprowadzimy prostą, i oznaczymy kąt jaki ta prosta tworzy z osią $OX$ OX przez $\alpha$ \alpha, to okazuje się, że współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy:

a=\tg \alpha= \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

(0)

Jeżeli zaczniemy zmniejszać odległość pomiędzy $x$ x a $x_0$ x_0, tj. przybliżać $x$ x do $x_0$ x_0, to prosta przechodząca przez punkty $A$ A i $B$ B zaczyna przypominać styczną do wykresu funkcji $f$ f.

Wreszcie, licząc granicę ilorazu różnicowego:

\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

(0)

otrzymamy liczbę będącą współczynnikiem kierunkowym prostej stycznej d wykresu funkcji $f$ f a punkcie $A$ A - współczynnik ten nazywamy pochodną funkcji $f$ f w punkcie $x_0$ x_0:

f'(x_0)

(0)

Definicja 2

Pochodna funkcji w punkcie

Jeżeli dla funkcji $f$ f określonej w pewnym otoczeniu $U(x_0)$ U(x_0) punktu $x_0$ x_0 istnieje skończona granica $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ \displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}, to granicę tę nazywamy pochodną funkcji $f$ f w punkcie $x_0$ x_0 i oznaczamy ją $f'(x_0)$ f'(x_0).

f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

(0)

Jeżeli funkcja ma pochodną w punkcie $x_0$ x_0, to mówimy że funkcja jest różniczkowalna w punkcie $x_0$ x_0.

Definicja 3

Pochodna jednostronna

Jeżeli dla funkcji $f$ f określonej w pewnym otoczeniu $U_+(x_0)$ U_+(x_0) (odpowiednio: $U_-(x_0)$ U_-(x_0) punktu $x_0$ x_0 istnieje skończona granica $\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ \displaystyle\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $\left(\text{odpowiednio: }\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right)$ \left(\text{odpowiednio: }\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right), to granicę tę nazywamy pochodną prawostronną (odpowiednio: lewostronną) funkcji $f$ f w punkcie $x_0$ x_0 i oznaczamy ją $f'_+(x_0)$ f'_+(x_0) (odpowiednio: $f'_-(x_0)$ f'_-(x_0)).

Twierdzenie 1

O pochodnej funkcji

Funkcja $f$ f określona w otoczeniu punktu $x_0$ x_0 ma pochodną równą $p\in\mathbb{R}$ p\in\mathbb{R} w tym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją pochodne jednostronne $f'_+(x)$ f'_+(x) i $f'_-(x)$ f'_-(x) oraz zachodzi równość

f'_+(x)=f'_-(x)

(0)

Twierdzenie 2

O ciągłości funkcji różniczkowalnej

Jeżeli funkcja $f$ f jest określona w pewnym otoczeniu punktu $x_0$ x_0 i ma w tym punkcie pochodną, to jest w tym punkcie ciągła.

Definicja 4

Funkcja pochodna

Niech dana będzie funkcja $f$ f mająca pochodną w każdym punkcie swojej dziedziny (lub na jej podzbiorze). Funkcją pochodną (lub krótko: pochodną) funkcji $f$ f nazywamy funkcję $y=f'(x)$ y=f'(x).
O funkcji $f$ f mówimy, że jest różniczkowalna.

Funkcja	Pochodna
$f(x)=c$ f(x)=c	$f'(x)=0$ f'(x)=0
$f(x)=x^c$ f(x)=x^c	$f'(x)=cx^{c-1}$ f'(x)=cx^{c-1}
$f(x)=\sqrt{x}$ f(x)=\sqrt{x}	$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
$f(x)=\frac{1}{x}$ f(x)=\frac{1}{x}	$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ f'(x)=-\frac{1}{x^2}
$f(x)=\sin x$ f(x)=\sin x	$f'(x)=\cos x$ f'(x)=\cos x
$f(x)=\cos x$ f(x)=\cos x	$f'(x)=-\sin x$ f'(x)=-\sin x
$f(x)=\tg x$ f(x)=\tg x	$f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}$ f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}
$f(x)=\ctg x$ f(x)=\ctg x	$f'(x)=-\frac{1}{\sin^2 x}$ f'(x)=-\frac{1}{\sin^2 x}
$f(x)=\ln x$ f(x)=\ln x	$f'(x)=\frac{1}{x}$ f'(x)=\frac{1}{x}
$f(x)=\log_a x$ f(x)=\log_a x	$f'(x)=\frac{1}{x\ln a}$ f'(x)=\frac{1}{x\ln a}
$f(x)=a^x$ f(x)=a^x	$f'(x)=a^x\ln a$ f'(x)=a^x\ln a
$f(x)=e^x$ f(x)=e^x	$f'(x)=e^x$ f'(x)=e^x

Tab. 1.

Pochodne wybranych funkcji

Twierdzenie 3

O równaniu stycznej do wykresu funkcji w punkcie

Niech dana będzie funkcja $f$ f określona w pewnym otoczeniu punktu $x_0$ x_0 oraz różniczkowalna w tym punkcie. Styczna do wykresu funkcji w punkcie $\left(x_0,f(x_0)\right)$ \left(x_0,f(x_0)\right) to prosta o równaniu:

y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)

(0)

Twierdzenie 4

Twierdzenie o regułach różniczkowania

Niech dane będą funkcje $f$ f i $g$ g, różniczkowalne w punkcie $x$ x. Wówczas:

\begin{align*} (c\cdot f(x))'&=c\cdot f'(x) \quad (c\in\mathbb{R})\\ (f(x)+g(x))'&=f'(x)+g'(x)\\ (f(x)-g(x))'&=f'(x)-g'(x)\\ (f(x)\cdot g(x))'&=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\\ \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'&=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} \quad(g(x)\neq 0) \end{align*}

(0)

Definicja 5

Funkcja złożona

Niech dane będą funkcje $f:D_f\to\mathbb{R}$ f:D_f\to\mathbb{R} oraz $g:D_g\to\mathbb{R}$ g:D_g\to\mathbb{R}, gdzie $D_g\cap f(D_f)\neq \emptyset$ D_g\cap f(D_f)\neq \emptyset. Funkcję $g\circ f$ g\circ f określona na zbiorze $D=\{x\in D_f:f(x)\in D_g\}$ D=\{x\in D_f:f(x)\in D_g\} wzorem:

(g\circ f)(x)=g(f(x))

(0)

nazywamy złożeniem funkcji $f$ f i $g$ g, przy czym $g$ g nazywamy funkcją zewnętrzną, a $f$ f - funkcją wewnętrzną.

Uwaga 1

Uwaga

Składanie funkcji nie jest operacją przemienną!

Twierdzenie 5

O pochodnej funkcji złożonej

Jeżeli funkcja $f$ f ma pochodną w punkcie $x_0$ x_0, a funkcja $g$ g ma pochodną w punkcie $f(x_0)$ f(x_0), to funkcja $g\circ f$ g\circ f ma pochodną w punkcie $x_0$ x_0 daną wzorem:

(g\circ f)'(x_0)=(g(f(x_0))'=g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)

(0)

Twierdzenie 6

O znaku pochodnej funkcji monotonicznej

Niech dana będzie funkcja $f$ f różniczkowalna w przedziale $(a,b)$ (a,b). Wówczas:

jeżeli funkcja $f$ f jest rosnąca w przedziale $(a,b)$ (a,b), to $f'(x)\ge 0$ f'(x)\ge 0 dla każdego $x\in(a,b)$ x\in(a,b).
jeżeli funkcja $f$ f jest malejąca w przedziale $(a,b)$ (a,b), to $f'(x)\le 0$ f'(x)\le 0 dla każdego $x\in(a,b)$ x\in(a,b).

Odwrotnie:

Jeżeli $f'(x)>0$ f'(x)>0 dla każdego $x\in(a,b)$ x\in(a,b), to funkcja $f$ f jest rosnąca na przedziale $(a,b)$ (a,b)
Jeżeli $f'(x)<0$ f'(x)<0 dla każdego $x\in(a,b)$ x\in(a,b), to funkcja $f$ f jest malejąca na przedziale $(a,b)$ (a,b)
Jeżeli $f'(x)=0$ f'(x)=0, to funkcja $f$ f jest stała na przedziale $(a,b)$ (a,b).

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c} x & & x_0 & \\ \hline f'(x) & + & 0 &- \\\hline f(x) & \nearrow & \textcolor{Green}{\max} &\searrow \end{array} \qquad \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c} x & & x_0 & \\ \hline f'(x) & - & 0 &+ \\\hline f(x) & \searrow & \textcolor{Red}{\min}&\nearrow \end{array}

(0)

Uwaga 2

Uwaga

Druga część powyższego twierdzenia (konkretnie dwa pierwsze podpunkty - przypadek $f'(x)<0$ f'(x)<0 oraz $f'(x)>0$ f'(x)>0) jest również prawdziwa, gdy dla skończonej liczby argumentów pochodna funkcji $f$ f wynosi $0$ 0. Badanie przebiegu zmienności funkcji

Badanie przebiegu zmienności funkcji to analiza matematyczna, której celem jest zrozumienie, jak dana funkcja zachowuje się w różnych punktach swojego wykresu. Wyniki tej analizy pozwalają na dokładne narysowanie wykresu funkcji i jej opis.

Do najważniejszych etapów tego procesu należą:

Określenie dziedziny funkcji
Znalezienie punktów zerowych.
Znalezienie punktów przecięcia z osią $OY$ OY
Obliczenie granic na końcach dziedziny.
Wyznaczenie asymptot wykresu funkcji (o ile istnieją)
Wyznaczenie pochodnej funkcji i określenie jej dziedziny
Wyznaczenie przedziałów monotoniczności oraz ekstremów funkcji.

Uwaga 3

Uwaga

Pochodna funkcji jest funkcją, a pochodna funkcji w punkcie jest liczbą!