Potęga o wykładniku naturalnym

Niech $a\in\mathbb{R}$a\in\mathbb{R} oraz $n\in\mathbb{N}$n\in\mathbb{N}. Potęga o podstawie $a$a oraz wykładniku naturalnym $n$n to wyrażenie:

Wyrażenie $a^n$a^n można wymówić na wiele sposobów:

• $a$a podniesione do potęgi $n$n-tej,

• $a$a do potęgi $n$n-tej,

• $a$a do $n$n-tej

Powszechnie, zamiast mówić “trzy podniesione do potęgi drugiej” ($3^2$3^2) oraz “cztery podniesione do potęgi trzeciej” ($4^3$4^3) używamy zwrotów “trzy do kwadratu” (lub “kwadrat liczby trzy”) oraz “cztery do sześcianu” (lub “sześcian liczby cztery”).

Wyrażenia „do kwadratu” i „do sześcianu” pochodzą z geometrii i mają związek z kształtami oraz ich właściwościami.
W przypadku wyższych potęg brakuje powszechnie używanych figur geometrycznych, które by jednoznacznie kojarzyły się z tymi potęgami. Dlatego używa się po prostu określeń „do potęgi czwartej”, „do potęgi piątej” itd.

Dla dowolnej liczby $a\in\mathbb{R}$a\in\mathbb{R}, $a\neq 0$a\neq 0, zachodzi:

Dlaczego? Zauważ, że:

Z własności działań na potęgach wiemy, że przy dzieleniu potęg o tych samych podstawach, ich wykładniki się odejmują, zatem możemy napisać:

Dla $a=0$a=0, wyrażenie $0^0$0^0 jest niezdefiniowane ponieważ nie możemy dzielić przez $0$0.

Pamiętamy, że “dwa minusy dają plus”, tj. iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią. W związku z tym, w parzystych potęgach liczb ujemnych możemy całkowicie pominąć znak minus, a w nieparzystych potęgach - zignorować nawias:

Ogólnie:

dla dowolnego $k\in\mathbb{N}$k\in\mathbb{N}. Innymi słowy, parzysta potęga z liczby ujemnej jest dodatnia, a nieparzysta - ujemna.

• $5^3=5\cdot 5\cdot 5=125$5^3=5\cdot 5\cdot 5=125

• $x^5=x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$x^5=x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x

• $\left(a-b\right)^{2}=\left(a-b\right) \cdot \left(a-b\right)$\left(a-b\right)^{2}=\left(a-b\right) \cdot \left(a-b\right)

Zauważ, że $10^n$10^n to liczba z $1$1 na początku i $n$n zer: