Prawdopodobieństwo klasyczne

Niech $\Omega$\Omega będzie skończoną przestrzenią zdarzeń elementarnych w której wszystkie zdarzenia są jednakowo prawdopodobne. Prawdopodobieństwem zdarzenia losowego $A\subset \Omega$A\subset \Omega nazywamy liczbę:

Innymi słowy, prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia $A$A jest równe ilorazowi liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu $A$A do liczby wszystkich zdarzeń elementarnych należących do zbioru.

Przy obliczaniu prawdopodobieństwa klasycznego, często niezbędna jest znajomość kombinatoryki która ułatwia znalezienie liczby zdarzeń sprzyjających oraz wszystkich możliwych zdarzeń.

Niech $\Omega$\Omega będzie skończoną przestrzenią zdarzeń elementarnych. Prawdopodobieństwem określonym na $\Omega$\Omega nazywamy funkcję $P$P, która dowolnemu zdarzeniu $A\subset\Omega$A\subset\Omega przyporządkowuje liczbę $P(A)$P(A) spełniającą warunki:

• $P(A)\ge 0$P(A)\ge 0,

• $P(\Omega)=1$P(\Omega)=1,

• $B\subset\Omega \land A\cap B=\emptyset\Rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)$B\subset\Omega \land A\cap B=\emptyset\Rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)

Liczbę $P(A)$P(A) nazywamy prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia $A$A, a parę $\left(\Omega,P\right)$\left(\Omega,P\right)nazywamy przestrzenią probabilistyczną.

Niech $P$P będzie prawdopodobieństwem określonym na przestrzeni zdarzeń elementarnych $\Omega$\Omega. Wówczas:

• $P(\emptyset)=0$P(\emptyset)=0,

• $P(A)\le 1$P(A)\le 1,

• Jeżeli $A\subset B\subset\Omega$A\subset B\subset\Omega, to $P(A)\le P(B)$P(A)\le P(B)

• Dla dowolnego $A\subset\Omega$A\subset\Omega, $P(A')=1-P(A)$P(A')=1-P(A)

• Dla dowolnych $A,B\subset\Omega$A,B\subset\Omega,

  $$P(A\backslash B)=P(A)-P(A\cap B)$$

  P(A\backslash B)=P(A)-P(A\cap B)(0)

• Dla dowolnych $A,B\subset\Omega$A,B\subset\Omega,

  $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

  P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)(0)

• Dla dowolnych $A_1,A_2,\dots,A_n\subset \Omega$A_1,A_2,\dots,A_n\subset \Omega takich że $A_i\cap A=\emptyset$A_i\cap A=\emptyset dla $i\neq j$i\neq j zachodzi:

  $$P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots +P(A_n)$$

  P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots +P(A_n)(0)

• Dla dowolnych $A,B,C\subset \Omega$A,B,C\subset \Omega:

  $$\begin{aligned} P(A\cup B\cup C)&=P(A)+P(B)+P(C)\\&-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C) \\&+ P(A\cap B\cap C) \end{aligned}$$

  \begin{aligned} P(A\cup B\cup C)&=P(A)+P(B)+P(C)\\&-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C) \\&+ P(A\cap B\cap C) \end{aligned}(0)

Drzewo stochastyczne to graficzna reprezentacja wieloetapowego doświadczenia losowego, w którym wynik każdego etapu zależy od losowego wyboru zgodnie z określonymi prawdopodobieństwami.

• Korzeń (węzeł początkowy) – punkt startowy procesu.

• Węzły wewnętrzne (wierzchołki) – odpowiadają różnym możliwym etapom zdarzenia.

• Gałęzie (krawędzie) – reprezentują możliwe przejścia między etapami, każda z przypisanym prawdopodobieństwem.

• Liście (węzły końcowe) – odpowiadają możliwym końcowym wynikom procesu.

Prawdopodobieństwo zdarzenia to iloczyn prawdopodobieństw wzdłuż danej ścieżki drzewa.