Prawdopodobieństwo warunkowe

Niech $A,B\subset\Omega$A,B\subset\Omega, gdzie $\Omega$\Omega - przestrzeń zdarzeń elementarnych oraz $P(B)>0$P(B)>0. Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia $A$A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie $B$B, nazywamy liczbę daną wzorem:

Niech $\Omega$\Omega będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych z określonym na niej prawdopodobieństwem $P$P oraz niech $B\subset \Omega$B\subset \Omega taka, że $P(B)>0$P(B)>0. Wówczas funkcja, która dowolnemu zdarzeniu $A\subset\Omega$A\subset\Omega przyporządkowuje liczbę $P(A|B)= \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$P(A|B)= \frac{P(A\cap B)}{P(B)} spełnia aksjomaty prawdopodobieństwa.

Niech $\Omega$\Omega będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych z określonym na niej prawdopodobieństwem $P$P. Wówczas, jeżeli zdarzenia $B_1,B_2,\ldots,B_n\subset\Omega$B_1,B_2,\ldots,B_n\subset\Omega spełniają następujące warunki:

• $B_1\cup B_2\cup\ldots\cup B_n=\Omega$B_1\cup B_2\cup\ldots\cup B_n=\Omega,

• Dla każdego $B_i$B_i, $P(B_i)>0$P(B_i)>0,

• Dla dowolnych $i,j\in\mathbb{N}$i,j\in\mathbb{N}, $i\neq j$i\neq j, $B_i\cap B_j=\emptyset$B_i\cap B_j=\emptyset,

to dla dowolnego $A\subset \Omega$A\subset \Omega zachodzi:

Niech dana będzie przestrzeń zdarzeń elementarnych $\Omega$\Omega z określonym na niej prawdopodobieństwem $P$P. Jeżeli zdarzenia $B_1,B_2,\ldots,B_n\subset\Omega$B_1,B_2,\ldots,B_n\subset\Omega spełniają następujące warunki:

• $B_1\cup B_2\cup\ldots\cup B_n=\Omega$B_1\cup B_2\cup\ldots\cup B_n=\Omega,

• Dla każdego $B_i$B_i, $P(B_i)>0$P(B_i)>0,

• Dla dowolnych $i,j\in\mathbb{N}$i,j\in\mathbb{N}, $i\neq j$i\neq j, $B_i\cap B_j=\emptyset$B_i\cap B_j=\emptyset,

to dla dowolnego zdarzenia $A\subset\Omega$A\subset\Omega o dodatnim prawdopodobieństwie zachodzi wzór: