Prawdopodobieństwo warunkowe

Definicja 1

Prawdopodobieństwo warunkowe

Niech $A,B\subset\Omega$ A,B\subset\Omega, gdzie $\Omega$ \Omega - przestrzeń zdarzeń elementarnych oraz $P(B)>0$ P(B)>0. Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia $A$ A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie $B$ B, nazywamy liczbę daną wzorem:

P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

(0)

Prawdopodobieństwo warunkowe $P(A|B)$ P(A|B) jest z reguły różne od prawdopodobieństwa $P(A)$ P(A), ponieważ wiedza o zajściu zdarzenia $B$ B daje nam dodatkowe informacje mogące mieć wpływ na prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia $A$ A.

Wyróżniamy dwa sposoby obliczania prawdopodobieństwa warunkowego $P(A|B)$ P(A|B):

Zawężenie przestrzeni zdarzeń elementarnych - ograniczamy przestrzeń zdarzeń elementarnych do tych sprzyjających zdarzeniu $B$ B i liczymy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia $A$ A ze wzoru na prawdopodobieństwo klasyczne, oczywiście ograniczając się do zawężonej przestrzeni.
Zachowanie pełnej przestrzeni zdarzeń elementarnych – nie zmieniamy zakresu analizowanych zdarzeń, lecz korzystamy bezpośrednio ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe.

Twierdzenie 1

O prawdopodobieństwie warunkowym

Niech $\Omega$ \Omega będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych z określonym na niej prawdopodobieństwem $P$ P oraz niech $B\subset \Omega$ B\subset \Omega taka, że $P(B)>0$ P(B)>0. Wówczas funkcja, która dowolnemu zdarzeniu $A\subset\Omega$ A\subset\Omega przyporządkowuje liczbę $P(A|B)= \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ P(A|B)= \frac{P(A\cap B)}{P(B)} spełnia aksjomaty prawdopodobieństwa.

Twierdzenie 2

O prawdopodobieństwie całkowitym

Niech $\Omega$ \Omega będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych z określonym na niej prawdopodobieństwem $P$ P. Wówczas, jeżeli zdarzenia $B_1,B_2,\ldots,B_n\subset\Omega$ B_1,B_2,\ldots,B_n\subset\Omega spełniają następujące warunki:

$B_1\cup B_2\cup\ldots\cup B_n=\Omega$ B_1\cup B_2\cup\ldots\cup B_n=\Omega,
Dla każdego $B_i$ B_i, $P(B_i)>0$ P(B_i)>0,
Dla dowolnych $i,j\in\mathbb{N}$ i,j\in\mathbb{N}, $i\neq j$ i\neq j, $B_i\cap B_j=\emptyset$ B_i\cap B_j=\emptyset,

to dla dowolnego $A\subset \Omega$ A\subset \Omega zachodzi:

P(A)=\sum_{i=1}^nP(A|B_i)P(B_i)

(0)

Twierdzenie 3

Wzór Bayesa

Niech dana będzie przestrzeń zdarzeń elementarnych $\Omega$ \Omega z określonym na niej prawdopodobieństwem $P$ P. Jeżeli $A,B\subset \Omega$ A,B\subset \Omega oraz $P(B)>0$ P(B)>0, to

P\left(A|B\right)= \frac{P\left(B|A\right) \cdot P(A)}{P(B)}

(0)

Twierdzenie 4

Wzór Bayesa (wiele zdarzeń)

Niech dana będzie przestrzeń zdarzeń elementarnych $\Omega$ \Omega z określonym na niej prawdopodobieństwem $P$ P. Jeżeli zdarzenia $B_1,B_2,\ldots,B_n\subset\Omega$ B_1,B_2,\ldots,B_n\subset\Omega spełniają następujące warunki:

$B_1\cup B_2\cup\ldots\cup B_n=\Omega$ B_1\cup B_2\cup\ldots\cup B_n=\Omega,
Dla każdego $B_i$ B_i, $P(B_i)>0$ P(B_i)>0,
Dla dowolnych $i,j\in\mathbb{N}$ i,j\in\mathbb{N}, $i\neq j$ i\neq j, $B_i\cap B_j=\emptyset$ B_i\cap B_j=\emptyset,

to dla dowolnego zdarzenia $A\subset\Omega$ A\subset\Omega o dodatnim prawdopodobieństwie zachodzi wzór:

P(B_k|A)=\frac{P(A|B_k)P(B_k)}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)}=\frac{P(A|B_k)P(B_k)}{P(A)}

(0)

Twierdzenie 5

Własności prawdopodobieństwa warunkowego

Niech $\Omega$ \Omega będzie dowolną przestrzenią zdarzeń elementarnych oraz $A,B,C\subset\Omega$ A,B,C\subset\Omega i $P(C)>0$ P(C)>0. Wówczas:

$P(\emptyset|C)=0$ P(\emptyset|C)=0,
$P(\Omega|C)=1$ P(\Omega|C)=1,
$A\subset B\Rightarrow P(A|C)\le P(B|C)$ A\subset B\Rightarrow P(A|C)\le P(B|C),
$P(A|C)=1-P(A'|C)$ P(A|C)=1-P(A'|C) oraz $P(A'|C)=1-P(A|C)$ P(A'|C)=1-P(A|C),
$A\cap B=\emptyset \Rightarrow P(A\cup B)=P(A|C)+P(B|C)$ A\cap B=\emptyset \Rightarrow P(A\cup B)=P(A|C)+P(B|C)
$P(A\cup B | C)=P(A|C)+P(B|C)-P(A\cap B|C)$ P(A\cup B | C)=P(A|C)+P(B|C)-P(A\cap B|C).