Procenty

Jednym procentem (%) danej wielkości nazywamy setną ($0,01$0,01) część tej wielkości.

Ogólnie:

Jednym promilem (‰) (łac. pro mille - na tysiąc) danej wielkości nazywamy jedną tysięczną ($0,001$0,001) tej wielkości.

Ogólnie

• $\displaystyle 11\%= \frac{11}{100}=0{,}11$\displaystyle 11\%= \frac{11}{100}=0{,}11

• $\displaystyle 60\%= 0{,}6= \frac{60}{100}= \frac{3}{5}$\displaystyle 60\%= 0{,}6= \frac{60}{100}= \frac{3}{5}

• $\displaystyle 150\%= \frac{150}{100}=1{,}5$\displaystyle 150\%= \frac{150}{100}=1{,}5

• $\displaystyle \frac{3}{4}= 0{,}75 \cdot 100\%=75\%$\displaystyle \frac{3}{4}= 0{,}75 \cdot 100\%=75\%

• $\displaystyle \frac{2}{7} = \frac{2}{7} \cdot 100\%= \frac{200}{7}\%=28 \frac{4}{7}\%$\displaystyle \frac{2}{7} = \frac{2}{7} \cdot 100\%= \frac{200}{7}\%=28 \frac{4}{7}\%

• $0{,}035=0{,}035 \cdot 100\%=3{,}5\%$0{,}035=0{,}035 \cdot 100\%=3{,}5\%

Zauważ że zamieniając ułamek dziesiętny na procenty wystarczy przesunąć przecinek o dwa miejsca w prawo i dopisać symbol $\%$\%.

Zamiana ułamka zwykłego na procent polega na rozszerzeniu tego ułamka do mianownika $100$100 (o ile to możliwe), i w tak otrzymanym mianownik licznik wyraża liczbę procentów. Alternatywnie, mnożymy ułamek przez $100\%$100\%.

W drugą stronę, aby zamienić procent na ułamek wystarczy wpisać w liczniku liczbę procentów, a w mianowniku $100$100.

Warto wyróżnić następujące procenty:

• $\displaystyle 10\%= \frac{1}{10}$\displaystyle 10\%= \frac{1}{10} - jedna dziesiąta całości.

• $\displaystyle 25\%= \frac{1}{4 }$\displaystyle 25\%= \frac{1}{4 } - jedna czwarta (ćwierć) całości.

• $\displaystyle 50\%= \frac{1}{2}$\displaystyle 50\%= \frac{1}{2} - jedna druga (połowa) całości.

• $\displaystyle 75\%= \frac{3}{4}$\displaystyle 75\%= \frac{3}{4} - trzy czwarte całości

• $100\%=1$100\%=1 - całość.

• $200\%=2$200\%=2 - dwie całości (“dwa razy więcej”)

Przykłady obliczeń wybranego procenta z danej liczby:

• $80\%$80\% z liczby $40$40 to $32$32, ponieważ:

  $$80\%\cdot40=\frac{80}{100}\cdot 40=\frac{4}{5}\cdot 40=4\cdot 8=32$$

  80\%\cdot40=\frac{80}{100}\cdot 40=\frac{4}{5}\cdot 40=4\cdot 8=32(0)

• $150\%$150\% z liczby $50$50 to $75$75 ponieważ:

  $$150\%\cdot 50=\frac{150}{100}\cdot 50=\frac{3}{2}\cdot50=3\cdot 25 = 75$$

  150\%\cdot 50=\frac{150}{100}\cdot 50=\frac{3}{2}\cdot50=3\cdot 25 = 75(0)

• Cena komputera wynosiła $2000\ \text{zł}$2000\ \text{zł} i zmalała o $25\%$25\%. Po obniżce nowa cena wynosi $90\% \cdot 2000=1500$90\% \cdot 2000=1500, lub inaczej: obniżka wynosi $25\% \cdot 2000=500$25\% \cdot 2000=500, zatem nowa cena to $2000-500=1500$2000-500=1500.

Gdy cena danego produktu najpierw wzrośnie o $p\%$p\% a następnie zmaleje o $p\%$p\% (lub na odwrót), to nowa cena jest różna od ceny początkowej!

Podwyżka → Obniżka:

Jeśli cena produktu to $x$x, to po podwyżce o $p\%$p\% jego cena wynosi $\displaystyle x \cdot (100+p)\%=x \cdot \frac{100+p}{100}$\displaystyle x \cdot (100+p)\%=x \cdot \frac{100+p}{100} . Jeśli teraz cena spadnie o $p\%$p\%, to ostateczna cena wynosi

Skoro $p>0$p>0 to licznik jest mniejszy od mianownika i ostateczna cena jest mniejsza od ceny początkowej.

Przykłady obliczania jakim procentem jednej liczby jest druga liczba:

• Liczba $5$5 stanowi $25\%$25\% liczby $20$20, ponieważ:

  $$\frac{5}{20}\cdot 100\%=0.25\cdot 100\%=25\%$$

  \frac{5}{20}\cdot 100\%=0.25\cdot 100\%=25\%(0)

• Liczba $140$140 stanowi $175\%$175\% liczby $80$80, ponieważ:

  $$\frac{140}{80}\cdot 100\%=\frac{7}{4}\cdot 100\%=1,75\cdot 100\%=175\%$$

  \frac{140}{80}\cdot 100\%=\frac{7}{4}\cdot 100\%=1,75\cdot 100\%=175\%(0)

Przykłady obliczania liczby gdy dany jest jej procent:

• Liczba której $\displaystyle 20\%= \frac{1}{5}$\displaystyle 20\%= \frac{1}{5} wynosi $7$7 to liczba $35$35, ponieważ:

  $$7 \cdot \frac{100}{20}=7\cdot 5=35$$

  7 \cdot \frac{100}{20}=7\cdot 5=35(0)

• Liczba której $250\%$250\% wynosi $10$10 to liczba $4$4, ponieważ:

  $$10 \cdot \frac{100}{250}=4$$

  10 \cdot \frac{100}{250}=4(0)

Komputer kosztuje $2500\ \text{zł}$2500\ \text{zł} a laptop $2000\ \text{zł}$2000\ \text{zł}.

• Komputer jest droższy od laptopa o $25\%$25\% ponieważ różnica cen między komputerem i laptopem wynosi $500\ \text{zł}$500\ \text{zł} i stanowi $25\%$25\% ceny laptopa:

  $$\frac{\text{różnica cen}}{\text{cena laptopa}}= \frac{2500-2000}{2000}= \frac{500}{2000}= \frac{1}{4}=25\%$$

  \frac{\text{różnica cen}}{\text{cena laptopa}}= \frac{2500-2000}{2000}= \frac{500}{2000}= \frac{1}{4}=25\% (0)

• Laptop jest tańszy od komputera o $20\%$20\% ponieważ różnica cen między komputerem i laptopem wynosi $500\ \text{zł}$500\ \text{zł} i stanowi $20\%$20\% ceny komputera:

  $$\frac{\text{różnica cen}}{\text{cena komputera}}= \frac{2500-2000}{2500}= \frac{500}{2500}= \frac{1}{5}=20\%$$

  \frac{\text{różnica cen}}{\text{cena komputera}}= \frac{2500-2000}{2500}= \frac{500}{2500}= \frac{1}{5}=20\% (0)

Zamiast mówić że dana wielkość wzrosła/zmalała o $p\%$p\%, możemy powiedzieć że wzrosła/zmalała o $p$p punktów procentowych. Ogólnie gdy porównujemy wartości wyrażone w procentach posługujemy się terminem punktu procentowego, a do wyrażenia bardzo małych zmian - punktów bazowych. Przykład: zmiana oprocentowania lokaty/kredytu czy zmiana poparcia dla partii politycznej.

Punkt procentowy to jednostka różnicy między dwiema wartościami wyrażonymi w procentach.

Punkt bazowy to jednostka równa $\displaystyle \frac{1}{100}$\displaystyle \frac{1}{100} punktu procentowego.