Punkty, odcinki i proste w układzie współrzędnych

Odległość między punktami $A=(x_A,y_A)$A=(x_A,y_A) i $B=(x_B, y_B)$B=(x_B, y_B) (tj. długość odcinka $AB$AB) w układzie współrzędnych wyraża się wzorem:

W szczególności:

• jeżeli $y_A=y_B$y_A=y_B (odcinek $AB$AB jest równoległy do osi $OX$OX), to

  $$|AB|=|x_B-x_A|$$

  |AB|=|x_B-x_A|(0)

• jeżeli $x_A=x_B$x_A=x_B (odcinek $AB$AB jest równoległy do osi $OY$OY), to

  $$|AB|=|y_B-y_A|$$

  |AB|=|y_B-y_A|(0)

Odległość między prostymi $k$k i $l$l danych równaniami:

gdzie $A^2+B^2\neq 0$A^2+B^2\neq 0 wyraża się wzorem:

Środkiem odcinka $AB$AB o współrzędnych $A=(x_A,y_A)$A=(x_A,y_A) i $B=(x_B, y_B)$B=(x_B, y_B) jest punkt:

Odległość punktu $P=(x_0,y_0)$P=(x_0,y_0) od prostej $k$k danej równaniem ogólnym:

wyraża się wzorem:

Współrzędne środka ciężkości $S$S trójkąta $ABC$ABC o współrzędnych $A=\left(x_A,y_A\right)$A=\left(x_A,y_A\right), $B=(x_B,y_B)$B=(x_B,y_B) i $C=(x_C,y_C)$C=(x_C,y_C) wyrażają się wzorem:

Równanie postaci:

nazywamy równaniem kierunkowym prostej, gdzie $a$a to współczynnik kierunkowy, a $b$b - wyraz wolny.

Kątem nachylenia prostej do osi $OX$OX nazywamy kąt którego wierzchołkiem jest punkt przecięcia się tej prostej z osią $OX$OX, a ramionami część prostej znajdująca się nad osia $OX$OX oraz półprosta zawierająca się w osi $OX$OX.

Prosta $y=ax+b$y=ax+b jest nachylona do osi $OX$OX pod kątem $\alpha\in[0^\circ ,180^\circ )\setminus\{90^\circ \}$\alpha\in[0^\circ ,180^\circ )\setminus\{90^\circ \}, takim że $\tg\alpha=a$\tg\alpha=a.

Kąt nachylenia prostej w postaci ogólnej $y=ax+b$y=ax+b do osi $OX$OX jest:

• ostry, jeśli $a>0$a>0,

• zerowy (prosta jest równoległa do osi $OX$OX), jeśli $a =0$a =0,

• rozwarty, jeśli $a<0$a<0.

Kąt ostry $\alpha$\alpha utworzony przez dwie nieprostopadłe proste o równaniach

spełnia równanie:

Dwie proste o równaniach $y=a_1x+b_1$y=a_1x+b_1 oraz $y=a_2x+b_2$y=a_2x+b_2, gdzie $a_1\neq0$a_1\neq0 i $a_2\neq0$a_2\neq0 są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy $a_1=a_2$a_1=a_2.

Dwie proste o równaniach $y=a_1x+b_1$y=a_1x+b_1 oraz $y=a_2x+b_2$y=a_2x+b_2 są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $a_1\cdot a_2=-1$a_1\cdot a_2=-1.

Dowód

Pokaż

Niech dane będą dwie proste prostopadłe:

Mamy:

$$\tg\beta=\tg\left(90^\circ +\alpha\right)=-\ctg\alpha=- \frac{1}{\tg\alpha}$$

\tg\beta=\tg\left(90^\circ +\alpha\right)=-\ctg\alpha=- \frac{1}{\tg\alpha} (0)

Zatem

$$\tg\beta=-\frac{1}{\tg\alpha}\Rightarrow\tg\beta \cdot \tg\alpha=-1\Rightarrow a_1 \cdot a_2=-1$$

\tg\beta=-\frac{1}{\tg\alpha}\Rightarrow\tg\beta \cdot \tg\alpha=-1\Rightarrow a_1 \cdot a_2=-1(0)

Równanie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych $(x_A,y_A)$(x_A,y_A) oraz $(x_B,y_B)$(x_B,y_B) gdzie $x_A\neq x_B$x_A\neq x_B, dane jest wzorem:

lub

lub:

Jeśli powyższy wzór wydaje Ci się skomplikowany to nie bój się - w praktyce najczęściej wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przed dwa punkty wprost z definicji prostej, podstawiając kolejno dwa podane punkty i otrzymując układ równań.

Warto jednak zapamiętać wzór

i w razie potrzeby przekształcać go w celu wyznaczenia równania prostej.

Równanie postaci

gdzie $A^2+B^2\neq0$A^2+B^2\neq0 nazywamy równaniem ogólnym prostej.

Dwie proste o równaniach ogólnych $A_1x+B_1+C_1=0$A_1x+B_1+C_1=0 oraz $A_2x+B_2+C_2=0$A_2x+B_2+C_2=0 gdzie $A_1^2+B_1^2\neq0$A_1^2+B_1^2\neq0 i $A_2^2+B_2^2\neq0$A_2^2+B_2^2\neq0 są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $A_1A_2+ B_1B_2=0$A_1A_2+ B_1B_2=0.

Dwie proste o równaniach ogólnych $A_1x+B_1+C_1=0$A_1x+B_1+C_1=0 oraz $A_2x+B_2+C_2=0$A_2x+B_2+C_2=0 gdzie $A_1^2+B_1^2\neq0$A_1^2+B_1^2\neq0 i $A_2^2+B_2^2\neq0$A_2^2+B_2^2\neq0 są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy $A_1B_2+ A_2B_1=0$A_1B_2+ A_2B_1=0.