Równania kwadratowe

Równaniem kwadratowym z niewiadomą $x$x nazywamy równanie postaci:

gdzie $a,b,c\in\mathbb{R}$a,b,c\in\mathbb{R} oraz $a\neq 0$a\neq 0.

Równania kwadratowe rozwiązujemy analogicznie do szukania miejsc zerowych funkcji kwadratowej.

Niech dane będzie równanie kwadratowe $ax^2+bx+c=0$ax^2+bx+c=0 gdzie $a\neq 0$a\neq 0 oraz niech $\Delta=b^2-4ac$\Delta=b^2-4ac. Wówczas:

• Jeżeli $\Delta>0$\Delta>0, to równanie ma dokładnie dwa rozwiązania dane wzorami:

  $$\begin{align*} x_1&= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\ x_2&= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \end{align*}$$

  \begin{align*} x_1&= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\ x_2&= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \end{align*}(0)

• Jeżeli $\Delta=0$\Delta=0, to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorem:

  $$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$$

  x_1=x_2=-\frac{b}{2a}(0)

• Jeżeli $\Delta < 0$\Delta < 0, to równanie nie ma rozwiązań.

Rozwiązanie równanie kwadratowego nazywamy również jego pierwiastkiem, a gdy $\Delta=0$\Delta=0 to mówimy o pierwiastku podwójnym (ponieważ $x_1=x_2$x_1=x_2).

Niektóre równania kwadratowe można rozwiązać bez obliczania delty, dostrzegając postać iloczynową w postaci ogólnej równania kwadratowego, np. $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$x^2+5x+6=(x+2)(x+3).