logo

Równania sprowadzalne do równań kwadratowych

Definicja 1

Równanie postaci

ax4+bx2+c=0,ax^4+bx^2+c=0,
(0)

gdzie a,b,c∈Ra,b,c\in\mathbb{R}, a≠0a\neq 0 nazywamy równaniem dwukwadratowym.

Dowolne równanie dwukwadratowe możemy sprowadzić do równania kwadratowego poprzez podstawienie

t=x2,t=x^2,
(0)

w wyniku którego możemy zapisać:

x4=(x2)2=t2x^4=(x^2)^2=t^2
(0)

Wówczas oryginalne równanie przyjmuje postać

at2+bt+c=0,at^2+bt+c=0,
(0)

gdzie t≥0t\ge0, a jego rozwiązania możemy wyznaczyć z rozwiązań t1t_1 oraz t2t_2 przekształconego równania kwadratowego (o ile istnieją i są nieujemne):

x2=t1∨x2=t2x=t1∨x=−t1∨x=t2∨−t2x^2=t_1 \vee x^2=t_2\\ x=\sqrt{t_1} \vee x=-\sqrt{t_1} \vee x=\sqrt{t_2} \vee -\sqrt{t_2}
(0)

Równanie dwukwadratowe jest zatem równaniem sprowadzalnym do równania kwadratowego. Ogólnie, równania ax2p+bxp+c=0ax^{2p}+bx^p+c=0 można sprowadzić do równania kwadratowego podstawiając t=xpt=x^p.

Definicja 2

Równaniem pierwiastkowym nazywamy równanie w którym niewiadoma występuje pod znakiem pierwiastka.

Równanie pierwiastkowe rozwiązujemy metodą równań równoważnych polegającej na stopniowym upraszczaniu równania poprzez wykonywanie przekształceń prowadzących do równania równoważnego o prostszej postaci.

Definicja
Równanie dwukwadratowe

Komentarze (0)

Sortuj