Równania sprowadzalne do równań kwadratowych

Definicja 1

Równanie dwukwadratowe

Równanie postaci

ax^4+bx^2+c=0,

(0)

gdzie $a,b,c\in\mathbb{R}$ a,b,c\in\mathbb{R}, $a\neq 0$ a\neq 0 nazywamy równaniem dwukwadratowym.

Dowolne równanie dwukwadratowe możemy sprowadzić do równania kwadratowego poprzez podstawienie

t=x^2,

(0)

w wyniku którego możemy zapisać:

x^4=(x^2)^2=t^2

(0)

Wówczas oryginalne równanie przyjmuje postać

at^2+bt+c=0,

(0)

gdzie $t\ge0$ t\ge0, a jego rozwiązania możemy wyznaczyć z rozwiązań $t_1$ t_1 oraz $t_2$ t_2 przekształconego równania kwadratowego (o ile istnieją i są nieujemne):

x^2=t_1 \vee x^2=t_2\\ x=\sqrt{t_1} \vee x=-\sqrt{t_1} \vee x=\sqrt{t_2} \vee -\sqrt{t_2}

(0)

Równanie dwukwadratowe jest zatem równaniem sprowadzalnym do równania kwadratowego. Ogólnie, równania $ax^{2p}+bx^p+c=0$ ax^{2p}+bx^p+c=0 można sprowadzić do równania kwadratowego podstawiając $t=x^p$ t=x^p.

Definicja 2

Równanie pierwiastkowe

Równaniem pierwiastkowym nazywamy równanie w którym niewiadoma występuje pod znakiem pierwiastka.

Równanie pierwiastkowe rozwiązujemy metodą równań równoważnych polegającej na stopniowym upraszczaniu równania poprzez wykonywanie przekształceń prowadzących do równania równoważnego o prostszej postaci.