Równania wielomianowe i pierwiastki wielomianu

Równaniem wielomianowym stopnia $n$n nazywamy równanie postaci:

gdzie $w$w jest wielomianem. stopnia $n$n.

Pierwiastkiem wielomianu $w:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$w:\mathbb{R}\to\mathbb{R} nazywamy każdą liczbę $x\in\mathbb{R}$x\in\mathbb{R} dla której

Jeżeli wielomian $w(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$w(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0 o współczynnikach całkowitych (przy czym $a_0\neq 0$a_0\neq 0) ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego $a_0$a_0.

Jeżeli wielomian $w(x)=2x^3-x^2+5x+8$w(x)=2x^3-x^2+5x+8 ma pierwiastek całkowity, to musi on być jedną z liczb: $-1,1,-2,2,-4,4,-8,8$-1,1,-2,2,-4,4,-8,8.

Jeżeli wielomian $w(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$w(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0 o współczynnikach całkowitych (przy czym $a_n\neq 0$a_n\neq 0 oraz $a_0\neq 0$a_0\neq 0) ma pierwiastek wymierny w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego $\frac{p}{q}$\frac{p}{q}, to $p$p jest dzielnikiem wyrazu wolnego $a_0$a_0, a $q$q jest dzielnikiem współczynnika $a_n$a_n.

Jeżeli wielomian $w(x)=3x^3-5x+2$w(x)=3x^3-5x+2 ma pierwiastek wymierny, to musi on być jedną z liczb:

• dzielniki $2$2: $-1,1,-2,2$-1,1,-2,2

• dzielniki $3$3: $-1,1,-3,3$-1,1,-3,3

• ułamki:

  $$\begin{array}{cccc} \frac{-1}{-1} & \frac{-1}{1} & \frac{-1}{-3} & \frac{-1}{3}\\ \frac{1}{-1} & \frac{1}{1} & \frac{1}{-3} & \frac{1}{3}\\ \frac{-2}{-1} & \frac{-2}{1} & \frac{-2}{-3} & \frac{-2}{3}\\ \frac{2}{-1} & \frac{2}{1} & \frac{2}{-3} & \frac{2}{3}\\ \end{array}$$

  \begin{array}{cccc} \frac{-1}{-1} & \frac{-1}{1} & \frac{-1}{-3} & \frac{-1}{3}\\ \frac{1}{-1} & \frac{1}{1} & \frac{1}{-3} & \frac{1}{3}\\ \frac{-2}{-1} & \frac{-2}{1} & \frac{-2}{-3} & \frac{-2}{3}\\ \frac{2}{-1} & \frac{2}{1} & \frac{2}{-3} & \frac{2}{3}\\ \end{array}(0)

• skracając ułamki i usuwając powtarzające się liczby:

  $$-1,1,- \frac{1}{3}, \frac{1}{3},-2,2, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}$$

  -1,1,- \frac{1}{3}, \frac{1}{3},-2,2, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3} (0)

Jeżeli liczba $a$a jest pierwiastkiem wielomianu $w(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$w(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0, to jego krotnością nazywamy największą liczbę naturalną $k$k, taką że wielomian $w(x)$w(x) jest podzielny przez wielomian$(x-a)^k$(x-a)^k.

Wielomian stopnia $n$n ma co najwyżej $n$n pierwiastków.

Jeżeli dla danego wielomianu $w$w istnieją argumenty $x_1<x_2$x_1<x_2 oraz wartości wielomianu w tych punktach $w(x_1)$w(x_1) oraz $w(x_2)$w(x_2) są różnych znaków, tj. $w(x_1)\cdot w(x_2)<0$w(x_1)\cdot w(x_2)<0, to wielomian $w$w ma pierwiastek $x_0\in(x_1,x_2)$x_0\in(x_1,x_2).

Powyższe twierdzenie to prosty wniosek z Twierdzenia Darboux. Na tym samym twierdzeniu opiera się tzw. metoda bisekcji (zwana również metodą równego podziału lub metodą połowienia) która polega na systematycznym zmniejszaniu przedziału $(x_1,x_2)$(x_1,x_2) do momentu znalezienia satysfakcjonującej dokładności bądź miejsca zerowego.

Wyłączamy $x^3$x^3 przed nawias:

i znajdujemy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:

Jeżeli nie możemy wyłączyć wspólnego czynnika przed nawias, to równania możemy również rozwiązać grupując odpowiednie wyrazy wielomianu:

Możemy też użyć wzorów skróconego mnożenia:

…

Możemy podzielić wielomian przez dwumian

W tym wypadku dzielimy przez dwumian $x-4$x-4

Jeżeli $x_1,x_2,x_3$x_1,x_2,x_3 są pierwiastkami wielomianu $x^3+px^2+qx+r=0$x^3+px^2+qx+r=0 to zachodzą równości: