Rozwiązywanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Jedną z najczęściej stosowanych metod rozwiązywania układów równań jest metoda podstawiania. Polega ona na tym, że z jednego równania obliczamy wartość jednej z niewiadomych, a następnie wstawiamy ją do drugiego równania. Alternatywnie, można skorzystać z tzw. metody przeciwnych współczynników. Ta metoda polega na takim przekształceniu obu równań, aby współczynniki przy tej samej niewiadomej były liczbami przeciwnymi. Następnie dodaje się równania stronami, co prowadzi do uzyskania równania z jedną niewiadomą.

Z innych metod możemy również wyróżnić metodę graficzną która polega na przedstawieniu równań w postaci wykresów i odnalezieniu punktu przecięcia tych wykresów (o ile istnieje). Każde równanie w układzie jest interpretowane jako prosta (dla równań liniowych) lub inna krzywa (dla bardziej złożonych równań) na układzie współrzędnych.

W metodzie podstawiania należy:

• z dowolnego równania wyznaczyć jedną z niewiadomych $x$x lub $y$y, tj. zapisać równanie jako $x=...$x=... lub $y=...$y=..., gdzie po prawej stronie już nie występuje wyznaczona niewiadoma (wybieramy takie równanie oraz niewiadomą, które pozwolą nam to zrobić możliwie najszybciej, bez niepotrzebnych przekształceń),

• podstawiać wyznaczoną niewiadomą (załóżmy, że $x$x) do drugiego równania otrzymując w ten sposób równanie z jedną niewiadomą $y$y,

• z drugiego równania obliczyć wartość liczbową niewiadomej $y$y,

• podstawić obliczoną wartość $y$y do pierwszego równania, otrzymując w ten sposób wartość liczbową $x$x,

• rozwiązaniem układu równań jest obliczona para liczb $(x,y)$(x,y).

W metodzie przeciwnych współczynników należy:

• przekształcić oba równania w równania równoważne, tak aby przy jednej ze zmiennych występowały przeciwne współczynniki (załóżmy, że przy $x$x),

• dodać stronami oba równania otrzymując w ten sposób równanie z jedną niewiadomą $y$y,

• z otrzymanego równania obliczyć wartość liczbową $y$y,

• podstawić obliczoną wartość $y$y do dowolnego równania z początkowego układu oraz wyznaczenie wartości liczbowej niewiadomej $x$x,

• rozwiązaniem układu równań jest obliczona para liczb $(x,y)$(x,y).

W metodzie graficznej należy:

• z obu równań wyznaczyć jedną z niewiadomych, tj. zapisać równania jako $x=\ldots$x=\ldots lub $y=\ldots$y=\ldots, gdzie po prawej stronie już nie występuje wyznaczona niewiadoma,

• narysować obie proste w układzie współrzędnych,

• określić ilość punktów wspólnych obu prostych w oparciu o ich położenie:

  • proste przecinają się, czyli mają jeden punkt wspólny. W takim wypadku układ jest oznaczony, a jego rozwiązaniem jest punkt przecięcia się prostych,

  • proste nakładają się na siebie, czyli maja nieskończenie wiele punktów wspólnych. W takim wypadku układ jest nieoznaczony i ma nieskończenie wiele rozwiązań,

  • proste są równoległe, czyli nie mają punktów wspólnych. W takim wypadku układ jest sprzeczny i nie ma rozwiązań.